Question

已知等差數列{a_n}中，a₂=4；a₄是a₂與a₈的等比中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式：
（Ⅱ）若a_n+1≠a_n．求數列{2^n-1a_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的通項公式

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）依題意，可求得該等差數列的公差d=0或d=2，分類討論，即可得到數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）易求a_n=2n，2^n-1a_n=2^n-1•2n=2ⁿ•n，S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，利用錯位相減法即可求得S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₂=4，a₄是a₂與a₈的等比中項，
∴a₁+d=4，a42=a₂•a₈，
即（4+2d）²=4（4+6d），化簡得d²-2d=0，
解得：d=0或d=2；
由于a₂=4，
∴當d=0時，a_n=4，
當d=2時，a₁=2，a_n=2n；
（Ⅱ）∵a_n+1≠a_n，
∴a_n=2n，
∴2^n-1a_n=2^n-1•2n=2ⁿ•n，
∵S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：
-S_n=2¹+2²+…+2^n-1+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差數列的通項公式與錯位相減法求和，考查運算求解能力，屬于中檔題．