Question

如圖，已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的右準(zhǔn)線交x軸于A，虛軸的下端點(diǎn)為B，過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于P，過點(diǎn)A、B的直線與FP相交于點(diǎn)D，且2

OD

=

OF

+

OP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若a=2，過點(diǎn)（0，-2）的直線l交該雙曲線于不同兩點(diǎn)M、N，求

OM

•

ON

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可分別表示出點(diǎn)A、B、P、F的坐標(biāo)，則直線AB的方程可表示出，把x=c代入求得y，則d點(diǎn)坐標(biāo)可得，根據(jù)2

OD

=

OF

+

OP

，可知2(c，

b3

a2

)=(c，0)+(c，

b2

a

)，求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，則雙曲線離心率可得．
（Ⅱ）根據(jù)（1）中a和b的關(guān)系式根據(jù)a可求得b，則雙曲線方程可得，設(shè)出直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)根據(jù)判別式求得k的范圍，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而表示出

OM

•

ON

，根據(jù)k的范圍確定其取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）點(diǎn)A、B、P、F的坐標(biāo)分別為A(

a2

c

，0)，B（0，-b），P(c，

b2

a

)，F(xiàn)（c，0），
直線AB的方程為

x

a2 c

+

y

-b

=1，令x=c，則y=

b3

a2

，知D(c，

b3

a2

)，
∵2

OD

=

OF

+

OP

，∴2(c，

b3

a2

)=(c，0)+(c，

b2

a

)，則

2b3

a2

=

b2

a

，∴a=2b，
∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

1+( b a )2

=

5

2

．

（Ⅱ）∵a=2，∴b=1，雙曲線的方程是

x2

4

-y2=1，知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l方程為y=kx-2，聯(lián)立方程組

x2 4 -y2=1 y=kx-2

得（1-4k²）x²+16kx-20=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

1-4k2≠0 △=(16k)2+80(1-4k2)＞0

解得k2＜

5

4

且k2≠

1

4

．
∴x1+x2=

16k

4k2-1

，x1x2=

20

4k2-1

．

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=

20(1+k2)

4k2-1

-

32k2

4k2-1

+4=

4k2+16

4k2-1

=1+

17

4k2-1

，
∵0≤k2＜

5

4

且k2≠

1

4

，∴

17

4k2-1

∈(-∞，-17]∪(

17

4

，+∞)，
則

OM

•

ON

的范圍是(-∞，-16]∪(

21

4

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．綜合考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和理解．