【題目】已知在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,是正三角形,,分別是的中點(diǎn)。
(1)求證:;
(2)求平面與平面所成銳二面角的大;
(3)線段上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn),使得直線與平面所成角為,若存在,求線段的長(zhǎng)度,若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(I)見(jiàn)解析,(Ⅱ),(Ⅲ)不存在
【解析】
(I)先根據(jù)面面垂直得線面垂直,再根據(jù)平行轉(zhuǎn)化得結(jié)果,(Ⅱ)先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),列方程組解得各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積得法向量夾角,最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系得結(jié)果,(Ⅲ)先假設(shè)存在,根據(jù)(Ⅱ)可得平面法向量,再根據(jù)向量數(shù)量積得直線方向向量與法向量夾角,結(jié)合條件得方程,根據(jù)方程解的情況作判斷.
(I)證明:∵,,
∴,
又∵,∴,
(Ⅱ)取中點(diǎn),連接
∵, ,∴,
如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)分別以所在直線為軸軸軸建立空間直角坐標(biāo)系,∴, ,, ,
設(shè)平面的法向量為,,
取∴
又平面的法向量為,
設(shè)平面與平面所成銳角二面角為
∴,
∴平面與平面所成銳角二面角為.
(Ⅲ)設(shè),
,
∴,
∴,
即,無(wú)解,∴不存在這樣的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)根據(jù)學(xué)生的興趣愛(ài)好,分別創(chuàng)建了“書(shū)法”、“詩(shī)詞”、“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán),據(jù)資料統(tǒng)計(jì)新生通過(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立.2015年某新生入學(xué),假設(shè)他通過(guò)考核選拔進(jìn)入該校的“書(shū)法”、“詩(shī)詞”、“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為、、,己知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為,至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為,且.
(1)求與的值;
(2)該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)安排情況,對(duì)進(jìn)入“書(shū)法”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分,對(duì)進(jìn)入“詩(shī)詞”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分,對(duì)進(jìn)入“理學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分.求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C:x2+y2+4x-2y+m=0與直線相切.
(1)求圓C的方程;
(2)若圓C上有兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱,且,求直線MN的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行,求;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象恒在軸上方,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列,等差數(shù)列滿足,且是與的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某研究所計(jì)劃利用“神七”宇宙飛船進(jìn)行新產(chǎn)品搭載實(shí)驗(yàn),計(jì)劃搭載新產(chǎn)品A、B,要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載實(shí)驗(yàn)費(fèi)用和預(yù)計(jì)產(chǎn)生收益來(lái)決定具體安排,通過(guò)調(diào)查,有關(guān)數(shù)據(jù)如表:
產(chǎn)品A(件) | 產(chǎn)品B(件) | ||
研制成本與塔載 | 20 | 30 | 計(jì)劃最大資 |
產(chǎn)品重量(千克/件) | 10 | 5 | 最大搭載 |
預(yù)計(jì)收益(萬(wàn)元/件) | 80 | 60 |
試問(wèn):如何安排這兩種產(chǎn)品的件數(shù)進(jìn)行搭載,才能使總預(yù)計(jì)收益達(dá)到最大,最大收益是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,設(shè),且,記;
(1)設(shè),其中,試求的單調(diào)區(qū)間;
(2)試判斷弦的斜率與的大小關(guān)系,并證明;
(3)證明:當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形,它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形,設(shè),則( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)求與直線平行,且被曲線截得的弦長(zhǎng)為的直線的方程.
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