Question

設橢圓E中心在原點，焦點在x軸上，短軸長為4，點Q（2，

2

）在橢圓上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設動直線L交橢圓E于A、B兩點，且

OA

⊥

OB

，求△OAB的面積的取值范圍．
（3）過M（x₁，y₁）的直線l₁：x₁x+2y₁y=8

2

與過N（x₂，y₂）的直線l₂：x₂x+2y₂y=8

2

的交點P（x₀，y₀）在橢圓E上，直線MN與橢圓E的兩準線分別交于G，H兩點，求

OG

•

OH

的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），把M（2，

2

）代入及2b=4即可得出；
（2）設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當直線L斜率存在時設方程為y=kx+m，與橢圓方程聯立可得根與系數的關系、利用向量垂直與數量積的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式可得，當斜率不存在時，直接得出；
（3）由點P（x₀，y₀）在直線l₁：x1x+2y1y=8

2

和l₂：x2x+2y2y=8

2

上，可得直線MN的方程是x x0+2y y0=8

2

，求出與橢圓準線的交點G，H，再利用向量垂直與數量積的關系、點P在橢圓上即可得出．

解答： 解：（1）設橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過M（2，

2

），2b=4
可求得b=2，a=2

2

．
∴橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當直線L斜率存在時設方程為y=kx+m，
聯立

y=kx+m x2+2y2=8

化為（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
即8k²-m²+4＞0（*）．
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

k2(2m2-8)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m²=

m2-8k2

1+2k2

．
要使

OA

⊥

OB

，需要x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
∴3m²-8k²-8=0，即m2=

8k2+8

3

①
將它代入（*）式可得k²∈[0，+∞）
P到L的距離為d=

|m|

1+k2

又

∴S= 1 2 |AB|d= 1 2 1+k2 |x1-x2|• |m| 1+k2 = 1 2 m2[(x1+x2)2-4x1x2]

將m2=

8k2+8

3

及韋達定理代入可得S=

8

3

1+ k2 4k4+4k2+1

①當k≠0時S=

8

3

1+ k2 4k4+4k2+1

=

8

3

1+ 1 4k2+ 1 k2 +4

由4k2+

1

k2

∈[4，+∞)故S=

8

3

1+ 1 4k2+ 1 k2 +4

∈(

8

3

，2

2

]
②當k=0時，S=

8

3

③當AB的斜率不存在時，S=

8

3

，綜上S∈[

8

3

（3）點P（x₀，y₀）在直線l₁：x1x+2y1y=8

2

和l₂：x2x+2y2y=8

2

上，
x1x0+2y1y0=8

2

，x2x0+2y2y0=8

2

故點M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）在直線x x0+2y y0=8

2

上．
故直線MN的方程，x x0+2y y0=8

2

上，
設G，H分別是直線MN與橢圓準線，x=±4的交點
由x x0+2y y0=8

2

和x=-4得G（-4，

4 2 +2x0

y0

）
由x x0+2y y0=8

2

和x=4得H（4，

4 2 -2x0

y0

）
故

OG

•

OH

=-16+

32-4x02

y02

又P（x₀，y₀）在橢圓E：

x2

8

+

y2

4

=1
有

x02

8

+

y02

4

=1故4x02=32-8y0^ 

OG

•

OH

=-16+

32-(32-8y02 )

y02

=-8

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、向量垂直與數量積的關系等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．