Question

已知橢圓E的焦點在x軸上，離心率為

1

2

，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點（1，

3

2

）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線y=kx-2與橢圓E相交于A，B兩點，若原點O在以AB為直徑的圓上，求直線斜率k的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意設(shè)出橢圓E的方程，根據(jù)離心率的值以及橢圓經(jīng)過點（1，

3

2

），待定系數(shù)法求出橢圓的方程；
（2）把直線的方程代入橢圓的方程，使用根與系數(shù)的關(guān)系，再由原點O在以AB為直徑的圓上，利用OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0，解方程求出k的值，并檢驗判別式是否大于0．

解答： 解：（1）依題意，可設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵

c

a

=

1

2

，∴a=2c，又 b²=a²-c²=3c²，
∵橢圓經(jīng)過點（1，

3

2

），則有

1

a2

+

9

4b2

=1，解得c=1，a=2，b=

3

，
∴橢圓的方程為 

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）記A、B 兩點坐標(biāo)分別為A（x₁，x₂ ），B （x₂，y₂），
由

y=kx-2 3x2+4y2=12

 消去y，得 （4k²+3）x²-16kx+4=0，
∵直線與橢圓有兩個交點，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，即k²＞

1

4

，
由韋達(dá)定理 x₁+x₂=

16k

4k2+3

，x₁x₂=

4

4k2+3

，
∵原點O在以AB為直徑的圓上，
∴OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0，
又

OA

=（x₁，y₁ ），

OB

=（x₂，y₂ ），
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=（k²+1）•

4

4k2+3

-2k•

16k

4k2+3

+4=0．
∴k²=

4

3

＞

1

4

，∴k=±

2 3

3

．

點評：本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)，用待定系數(shù)法求橢圓的方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，注意判別式和向量的數(shù)量積的運(yùn)用．