Question

已知（1+2x）ⁿ的二項(xiàng)展開式中，某一項(xiàng)的系數(shù)是它前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，是它后一項(xiàng)系數(shù)的．
（1）求n的值；
（2）求（1+2x）ⁿ的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，設(shè)該項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則有
即亦即
解得
∴n=7．
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有
即亦即
解得，
∴，
∴二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T₆=C₇⁵（2x）⁵=672x⁵．
分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出相鄰三項(xiàng)的系數(shù)，據(jù)題意，列出方程；利用組合數(shù)公式求出n的值．
（2）設(shè)系數(shù)最大的項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，令它的系數(shù)大于等于第r項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)大于等于第r+1項(xiàng)的系數(shù)，列出不等式組，利用組合數(shù)公式求出r的值，求出二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：求展開式的特殊項(xiàng)問題時(shí)采用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)的求法是設(shè)出系數(shù)最大的項(xiàng)，令該項(xiàng)的系數(shù)大于等于它前一項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)等于等于它后一項(xiàng)的系數(shù)．