【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形, 平面,,點是上的點,且 .
(1)求證:對任意的 ,都有.
(2)設(shè)二面角C-AE-D的大小為 ,直線BE與平面所成的角為 ,
若,求的值.
【答案】(1)見解析; (2).
【解析】
(1)因為SD⊥平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影,由三垂線定理只要證AC
⊥BD即可.(2)先找出θ計算出cosθ,再找到,求出點O到BE的距離,再求出sin,解
方程得到的值.
(1)證明:連接BE、BD,由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD.
∵SD⊥平面ABCD,∴BD是BE在平面ABCD上的射影,∴AC⊥BE
(2)解:由SD⊥平面ABCD知,∠DBE=φ,
∵SD⊥平面ABCD,CD平面ABCD,∴SD⊥CD.
又底面ABCD是正方形,∴CD⊥AD,而SD∩AD=D,CD⊥平面SAD.
連接AE、CE,過點D在平面SAD內(nèi)作DF⊥AE于F,連接CF,則CF⊥AE,
故∠CFD是二面角C﹣AE﹣D的平面角,即∠CFD=θ.
在Rt△ADE中,∵AD=a,DE=λa∴AE=a
從而DF==
在Rt△CDF中,tanθ==,所以.
過點B作EO的垂線BG,因為AC⊥平面BDE,所以AC⊥BG,
所以∠BEO就是直線BE與平面所成的角,
設(shè)點O到BE的距離為h,則由等面積得
所以,
因為,
所以.
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【題目】一盒中裝有12個球,其中5個紅球,4個黑球,2個白球,1個綠球.從中隨機取出1球,求:
(1)取出1球是紅球或黑球的概率;
(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率.
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【題目】如圖為半圓的直徑,點是半圓弧上的兩點, , .曲線經(jīng)過點,且曲線上任意點滿足: 為定值.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點的直線與曲線交于不同的兩點,求面積最大時的直線的方程.
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【題目】已知函數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù), .
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)點是棱長為2的正方體的棱的中點,點在面所在的平面內(nèi),若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等,則點到點的最短距離是( )
A. B. C. 1 D.
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【題目】某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品(百臺),其總成本為(萬元),其中固定成本為萬元,并且每生產(chǎn)百臺的生產(chǎn)成本為萬元(總成本固定成本生產(chǎn)成本).銷售收入(萬元)滿足,假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律,請完成下列問題:
(1)寫出利潤函數(shù)的解析式(利潤銷售收入總成本);
(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時,可使盈利最多?
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【題目】下列說法錯誤的是( )
A. 命題“”,則:“”
B. 命題“若,則”的否命題是真命題
C. 若為假命題,則為假命題
D. 若是的充分不必要條件,則是的必要不充分條件
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