Question

18．已知兩個(gè)半徑不相等的圓O₁與圓O₂相加交于M、N，且圓O₁、圓O₂分別與圓O內(nèi)切與S，求證：OM⊥MN的充分必要條件是S、N、T三點(diǎn)共線(xiàn)．

Answer 1

分析 設(shè)圓O₁、圓O₂、圓O的半徑分別為r₁、r₂、r，由條件可得O，O₁，S三點(diǎn)共線(xiàn)，O，O₂，T三點(diǎn)共線(xiàn)，且OS=OT=r，連接OS，OT，SN，NT，O₁N，O₂M，O₂N，O₁O₂，分充分性與必要性即可證明．

解答 證明：如圖，設(shè)圓O₁、圓O₂、圓O的半徑分別為r₁、r₂、r，
由條件可得O，O₁，S三點(diǎn)共線(xiàn)，O，O₂，T三點(diǎn)共線(xiàn)，且OS=OT=r，連接OS，OT，SN，NT，O₁N，O₂M，O₂N，O₁O₂，
充分性：設(shè)S、N、T三點(diǎn)共線(xiàn)，則∠S=∠T，
∵△OSN與△ONT均為等腰三角形，
∴∠S=∠O₁NS，∠T=∠O₂NT，
∴∠S=∠O₂NT，∠T=∠O₁NS，
∴O₂N∥OS，O₁N∥OT，
∴四邊形OO₁NO₂為平行四邊形，
∴OO₁=O₂N=r₂=MO₂，OO₂=O₁N=r₁=MO₁，
∴△O₁MO≌△O₂OM，
∴${S}_{△{O}_{1}MO}$=${S}_{△{O}_{2}OM}$，
∴O₁O₂∥OM，
∵O₁O₂⊥MN，
∴OM⊥MN；
必要性：若OM⊥MN，則O₁O₂⊥MN，∴O₁O₂∥OM，
∴${S}_{△{O}_{1}MO}$=${S}_{△{O}_{2}OM}$，
設(shè)OM=a，由于O₁M=r₁，O₁O=r-r₁，O₂O=r-r₂，O₂M=r₂，可得△O₁MO與△O₂OM的周長(zhǎng)都等于a+r，
記p=$\frac{a+r}{2}$，由三角形面積的海倫公式有$\sqrt{p（p-{r}_{1}）（p-r+{r}_{1}）（p-a）}$=$\sqrt{p（p-{r}_{2}）（p-r+{r}_{2}）（p-a）}$，
∴（r₁-r₂）（r-r₁-r₂）=0，
∴r₁+r₂=r，
∴O₁O=r-r₁=r₂=O₂N，O₂O=r-r₂=r₁=O₁N，
∴四邊形OO₁NO₂為平行四邊形，
∴O₂N∥OS，O₁N∥OT，
∴∠S=∠O₂NT，∠T=∠O₁NS，
∴∠S=∠T，∴S、N、T三點(diǎn)共線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查充要條件的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)，難度大．