如圖,已知圓錐的軸截面ABC是邊長為2的正三角形,O是底面圓心.
(Ⅰ)求圓錐的表面積;
(Ⅱ)經(jīng)過圓錐的高AO的中點O′作平行于圓錐底面的截面,求截得的圓臺的體積.
分析:(1)根據(jù)圓錐軸截面的形狀,得它底面半徑r=1,母線l=2,結(jié)合圓錐的表面積公式,不難得到該圓錐的表面積;
(2)根據(jù)圓O'是經(jīng)過高AO的中點且平行于圓O所在平面的截面,得截得小圓錐與大圓錐相似且相似比為1:2,再結(jié)合圓錐體積公式和兩個相似體的體積關(guān)系,可得小圓錐的體積,從而得到所求圓臺的體積.
解答:解:(1)圓錐的表面是由一個側(cè)面和一個底面圓構(gòu)成
∵圓錐的軸截面ABC是邊長為2的正三角形,得底面半徑r=1,母線l=2
∴S底面=πr2=π×12=π,S側(cè)面=πrl=π×1×2=2π
因此,該圓錐的表面積等于S=S底面+S側(cè)面=3π;
(2)由(1)得,大圓錐的高h(yuǎn)=
22-12
=
3

∴大圓錐的體積V大圓錐=
1
3
×S×h=
3
π
3

∵圓O'是經(jīng)過高AO的中點,且平行于圓O所在平面的截面
∴截得小圓錐與大圓錐的相似比為1:2,可得V小圓錐=
1
8
V大圓錐=
3
π
24

因此,所求圓臺的體積為V=V大圓錐-V小圓錐=
7
3
π
24
點評:本題給出軸截面是等邊三角形的圓錐,求表面積并求截得圓臺的體積.考查了圓的側(cè)面積公式、體積公式和圓臺體積求法等知識,屬于基礎(chǔ)題.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知圓錐的軸截面PAB是邊長為4的正三角形.
(Ⅰ)求該圓錐的表面積;
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如圖,已知圓錐的軸截面ABC是邊長為的正三角形,O是底面圓心.

(1)求圓錐的表面積;

(2)經(jīng)過圓錐的高的中點作平行于圓錐底面的截面,求截得的圓臺的體積.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆浙江省嘉興市八校高二上期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本題6分)如圖,已知圓錐的軸截面ABC是邊長為2的正三角形,O是底面圓心.

(Ⅰ)求圓錐的表面積;

(Ⅱ)經(jīng)過圓錐的高AO的中點O¢作平行于圓錐底面的截面,求截得的圓臺的體積.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆浙江省高二期中理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

如圖,已知圓錐的軸截面ABC是邊長為2的正三角形,O是底面圓心.

(Ⅰ)求圓錐的表面積;

(Ⅱ)經(jīng)過圓錐的高AO的中點O¢作平行于圓錐底面的截面,

求截得的圓臺的體積.

 

 

 

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