Question

對有n（n≥4）個元素的總體{1，2，3，…，n}進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個子總體{1，2，3，…，m}和{m+1，m+2，…，n}（m是給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2），再從每個子總體中各隨機(jī)抽取2個元素組成樣本．用P_ij表示元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的概率．
（1）求P_1n的表達(dá)式（用m，n表示）；
（2）求所有P_ij（1≤i＜j≤n）的和．

Answer 1

考點：概率的應(yīng)用,排列及排列數(shù)公式,排列、組合的實際應(yīng)用

專題：概率與統(tǒng)計,排列組合

分析：（1）由題意直接求P_1n的表達(dá)式（用m，n表示）；
（2）通過i，j是否在{1，2，…，m}中，在{m+1，m+2，…，n}中，求出P_ij（1≤i＜j≤n）的和，然后求所有P_ij（1≤i＜j≤n）的和．

解答： 解：（1）P_ij表示元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的概率．
1∈{1，2，3，…，m}，n∈{m+1，m+2，…，n}．
∴P1n=

m-1

C 2 m

•

n-m-1

C 2 n-m

=

4

m(n-m)

．
（2）當(dāng)i，j都在{1，2，…，m}中時，Pij=

1

C 2 m

，
而從{1，2，…，m}中選兩個數(shù)的不同方法數(shù)為

C

2 m

，則P_ij的和為1．
當(dāng)i，j同時在{m+1，m+2，…，n}中時，同理可得P_ij的和為1．
當(dāng)i在{1，2，…，m}中，j在{m+1，m+2，…，n}中時，Pij=

4

m(n-m)

，
而從{1，2，…，m}中選取一個數(shù)，從{m+1，m+2，…，n}中選一個數(shù)的不同方法數(shù)為m（n-m），
則P_ij的和為4．所以所有P_ij的和為1+1+4=6．

點評：本題考查概率的綜合應(yīng)用，排列與組合的應(yīng)用，考查計算能力以及分類討論思想的應(yīng)用．