Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面CA₁D；
（Ⅱ）若底面ABC為邊長為2的正三角形，BB₁=

3

，求三棱錐B₁-A₁DC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC₁交A₁C于點(diǎn)E，連接DE，只要證明DE∥BC₁；
（2）求出CD⊥面AA₁B₁B，得到CD是棱錐的高，利用棱錐的體積公式解答．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC₁交A₁C于點(diǎn)E，連接DE
因?yàn)樗倪呅蜛A₁C₁C是矩形，則E為AC₁的中點(diǎn)
又D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC₁，
又DE?面CA₁D，BC₁?面CA₁D，
所以BC₁∥面CA₁D；
（2）解：AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，AB⊥CD，
又AA₁⊥面ABC，CD?面ABC，AA₁⊥CD，
AA₁∩AB=A，CD⊥面AA₁B₁B，CD?面CA₁D，
平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B所以CD是三棱錐B₁-A₁DC的高，
又S△A1B1D=

1

2

AB×

3

=

3

，
所以VB1-A1DC=VC-A1B1D=

1

3

S△A1B1D×AD=

1

3

×

3

×

3

=1；

點(diǎn)評：本題考查了三棱柱中線面平行的判斷以及棱錐的體積的求法，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為線線平行的判斷以及棱錐的高的求法．