【題目】正四棱柱中,底面的邊長(zhǎng)為1,為正方形的中心.
(1)求證:平面;
(2)若異面直線與所成的角的正弦值為,求直線到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)通過證明四邊形一組對(duì)邊平行且相等,得出四邊形是平行四邊形,從而得出另一組對(duì)邊平行,得出線線,即可證出線面;
(2)法一:通過已知異面直線與所成的角的正弦值為,可求出正方體的高,由(1)得出平面,將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到面的距離,即點(diǎn)到平面的距離,再利用線面垂直的判定和性質(zhì),證出平面,所以在直角三角形中,求出的值,即可得出所求答案;
法二:直線到平面的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到面的距離,即點(diǎn)到平面的距離,再利用三棱錐等體積法求點(diǎn)到面的距離,即,化簡(jiǎn)便可求出結(jié)果.
(1)連接,交于點(diǎn),連接,交于點(diǎn),連接,
正四棱柱中,,且,又因?yàn)辄c(diǎn)、分別為、的中點(diǎn),
所以,且,
則四邊形為平行四邊形,故,
又不在平面內(nèi),在平面內(nèi),
故平面.
(2)由(1),,故異面直線與所成的角等于,
因?yàn)檎睦庵,?cè)棱底面,則,
又,則平面,則.
因正方形的邊長(zhǎng)為1,則.
得,則.
因?yàn)?/span>平面,則直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,
又為的中點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,
在三角形內(nèi)作,因?yàn)?/span>平面,
則平面平面,故平面.
直角三角形中,,,,
則.
則直線到平面的距離為.
方法二(等體積法):
因?yàn)?/span>平面,則直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的的距離,
又為的中點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由,
,且,,.
求得.則直線到平面的距離為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若對(duì)任意的正整數(shù),總存在正整數(shù),使得數(shù)列的前項(xiàng)和,則稱是“回歸數(shù)列”.
(1)①前項(xiàng)和為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”?并請(qǐng)說明理由;
②通項(xiàng)公式為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”?并請(qǐng)說明理由;
(2)設(shè)是等差數(shù)列,首項(xiàng),公差,若是“回歸數(shù)列”,求的值;
(3)是否對(duì)任意的等差數(shù)列,總存在兩個(gè)“回歸數(shù)列”和,使得成立,請(qǐng)給出你的結(jié)論,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近幾年一種新奇水果深受廣大消費(fèi)者的喜愛,一位農(nóng)戶發(fā)揮聰明才智,把這種露天種植的新奇水果搬到了大棚里,收到了很好的經(jīng)濟(jì)效益.根據(jù)資料顯示,產(chǎn)出的新奇水果的箱數(shù)x(單位:十箱)與成本y(單位:千元)的關(guān)系如下:
x | 1 | 3 | 4 | 6 | 7 |
y | 5 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 |
y與x可用回歸方程(其中,為常數(shù))進(jìn)行模擬.
(1)若該農(nóng)戶產(chǎn)出的該新奇水果的價(jià)格為150元/箱,試預(yù)測(cè)該新奇水果100箱的利潤(rùn)是多少元.(利潤(rùn)=售價(jià)-成本)
(2)據(jù)統(tǒng)計(jì),10月份的連續(xù)16天中該農(nóng)戶每天為甲地可配送的該新奇水果的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖,用這16天的情況來估計(jì)相應(yīng)的概率.一個(gè)運(yùn)輸戶擬購(gòu)置n輛小貨車專門運(yùn)輸該農(nóng)戶為甲地配送的該新奇水果,一輛貨車每天只能運(yùn)營(yíng)一趟,每輛車每趟最多只能裝載40箱該新奇水果,滿載發(fā)車,否則不發(fā)車.若發(fā)車,則每輛車每趟可獲利500元,若未發(fā)車,則每輛車每天平均虧損200元試比較和時(shí)此項(xiàng)業(yè)務(wù)每天的利潤(rùn)平均值的大小.
參考數(shù)據(jù)與公式:設(shè),則
0.54 | 6.8 | 1.53 | 0.45 |
線性回歸直線中,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集為{x|x≠c},則(其中a+c≠0)的取值范圍為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一款手游,頁面上有一系列的偽裝,其中隱藏了4個(gè)寶藏.如果你在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)找到了這4個(gè)寶藏,將會(huì)彈出下一個(gè)頁面,這個(gè)頁面仍隱藏了2個(gè)寶藏,若能在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)找到這2個(gè)寶藏,那么闖關(guān)成功,否則闖關(guān)失敗,結(jié)束游戲;如果你在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)找到了3個(gè)寶藏,仍會(huì)彈出下一個(gè)頁面,但這個(gè)頁面隱藏了4個(gè)寶藏,若能在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)找到這4個(gè)寶藏,那么闖關(guān)成功,否則闖關(guān)失敗,結(jié)束游戲;其它情況下,不會(huì)彈出下一個(gè)頁面,闖關(guān)失敗,并結(jié)束游戲.
假定你找到任何一個(gè)寶藏的概率為,且能否找到其它寶藏相互獨(dú)立..
(1)求闖關(guān)成功的概率;
(2)假定你付1個(gè)Q幣游戲才能開始,能進(jìn)入下一個(gè)頁面就能獲得2個(gè)Q幣的獎(jiǎng)勵(lì),闖關(guān)成功還能獲得另外4個(gè)Q幣的獎(jiǎng)勵(lì),闖關(guān)失敗沒有額外的獎(jiǎng)勵(lì).求一局游戲結(jié)束,收益的Q幣個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望(收益=收入-支出).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為,過F1的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),且△MNF2的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=kx+b與橢圓C分別交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,試問點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值,證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一家污水處理廠有兩個(gè)相同的裝滿污水的處理池,通過去掉污物處理污水,池用傳統(tǒng)工藝成本低,每小時(shí)去掉池中剩余污物的10%,池用創(chuàng)新工藝成本高,每小時(shí)去掉池中剩余污物的19%.
(1)池要用多長(zhǎng)時(shí)間才能把污物的量減少一半;(精確到1小時(shí))
(2)如果污物減少為原來的10%便符合環(huán)保規(guī)定,處理后的污水可以排入河流,若兩池同時(shí)工作,問經(jīng)過多少小時(shí)后把兩池水混合便符合環(huán)保規(guī)定.(精確到1小時(shí))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,右焦點(diǎn)F是拋物線:的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上
求橢圓的方程;
已知斜率為k的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),,直線AM與BM的斜率乘積為,若在橢圓上存在點(diǎn)N,使,求的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若,試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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