Question

【題目】已知數(shù)列f（x1），f（x2），…f（xn），…是公差為2的等差數(shù)列，且x1=a2其中函數(shù)f（x）=logax（a為常數(shù)且a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項公式；
（Ⅱ）若an=logaxn ， 求證 + +…+ ＜1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵f（x1）= =2，公差d=2．∴f（xn）=2+2（n﹣1）=2n，
∴l(xiāng)ogaxn=2n，解得xn=a2n ．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得：an=logaxn=2n，
∴ = = = ﹣ ．
∴ + +…+ = +…+ =1﹣ ＜1
【解析】（Ⅰ）由已知可得f（x1）= =2，利用等差數(shù)列的通項公式與對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：an=2n，可得 = ﹣ ．再利用“裂項求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可證明．