Question

【題目】已知四棱錐A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求證：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅲ）求四棱錐A﹣BCDE的體積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)G，連接FG、BG，∵F，G分別是AD，AC的中點(diǎn)
∴FG∥CD，且FG= DC=1．
∵BE∥CD∴FG與BE平行且相等
∴EF∥BG．
EF面ABC，BG面ABC
∴EF∥面ABC
（Ⅱ）∵△ABC為等邊三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG面ABC∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的兩條相交直線AC，DC，
∴BG⊥面ADC．
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF面ADE，∴面ADE⊥面ADC．
解：（Ⅲ）
方法一：連接EC，該四棱錐分為兩個(gè)三棱錐E﹣ABC和E﹣ADC．
．
方法二：取BC的中點(diǎn)為O，連接AO，則AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，
∴AO為VA﹣BCDE的高， ，∴ ．

【解析】（Ⅰ）取AC中點(diǎn)G，連接FG、BG，根據(jù)三角形中位線定理，得到四邊形FGBE為平行四邊形，進(jìn)而得到EF∥BG，再結(jié)合線面平行的判定定理得到EF∥面ABC；（Ⅱ）根據(jù)已知中△ABC為等邊三角形，G為AC的中點(diǎn)，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根據(jù)線面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，則EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；（Ⅲ）方法一：四棱錐四棱錐A﹣BCDE分為兩個(gè)三棱錐E﹣ABC和E﹣ADC，分別求出三棱錐E﹣ABC和E﹣ADC的體積，即可得到四棱錐A﹣BCDE的體積．
方法二：取BC的中點(diǎn)為O，連接AO，可證AO⊥平面BCDE，即AO為VA﹣BCDE的高，求出底面面積和高代入棱錐體積公式即可求出四棱錐A﹣BCDE的體積．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．