Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)O是A₁C₁的中點(diǎn)，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2．
（1）求證：AB₁⊥A_lC；
（2）求A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出四邊形A₁C₁CA為菱形，從而得到A₁C⊥平面AB₁C₁，由此能夠證明AB₁⊥A₁C．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C₁到平面AA₁B₁的距離為d，利用等積法求出d=

2 21

7

，由此能求出A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值．

解答： （1）證明：∵AO⊥平面A₁B₁C₁，∴AO⊥B₁C₁，
又∵A₁C₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩AO=O，
∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，∴A₁C⊥B₁C₁，
又∵AA₁=AC，∴四邊形A₁C₁CA為菱形，
∴A₁C⊥AC₁，且B₁C₁∩AC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁，
∴AB₁⊥A₁C．
（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)C₁到平面AA₁B₁的距離為d，
∵VA-A1B1C1=VC1-AA1B1，
∴

1

3

•

1

2

•A1C1•B1C1•AO=

1

3

•S△AA1B1•d，
又∵在△AA₁B₁中，A1B1=AB1=2

2

，
S△AA1B1=

7

，∴d=

2 21

7

，
∴A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值為

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．