Question

某超市計(jì)劃在春節(jié)當(dāng)天從有抽獎(jiǎng)資格的顧客中設(shè)一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)：在一個(gè)不透明的口袋中裝入外形一樣號(hào)碼分別為1，2，3，…，10的十個(gè)小球．活動(dòng)者一次從中摸出三個(gè)小球，三球號(hào)碼有且僅有兩個(gè)連號(hào)的為三等獎(jiǎng)；獎(jiǎng)金30元，三球號(hào)碼都成等差數(shù)列的為二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金60元；三球號(hào)碼分別為1，6，8為一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金240元；其余情況無(wú)獎(jiǎng)金．
（1）求顧客甲抽獎(jiǎng)一次所得獎(jiǎng)金ξ的分布列與期望；
（2）若顧客乙幸運(yùn)地先后獲得四次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他得獎(jiǎng)次數(shù)η的方差是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意知獎(jiǎng)金ξ的所有可能取值為0，30，60，240，分別求出P（ξ=30），P（ξ=60），P（ξ=240），P（ξ=0）的值，由此能求出ξ的分布列和期望．
（2）顧客乙得獎(jiǎng)次數(shù)η～B（4，

77

120

），由此能求出他得獎(jiǎng)次數(shù)η的方差．

解答： 解：（1）由題意知獎(jiǎng)金ξ的所有可能取值為0，30，60，240，
顧客抽獎(jiǎng)一次，基本事件總數(shù)為

C

3 10

=120，
∴P（ξ=30）=

7×2+6×7

120

=

7

15

，
P（ξ=60）=

8+6+4+2

120

=

1

6

，
P（ξ=240）=

1

120

，
P（ξ=0）=1-

7

15

-

1

6

-

1

120

=

43

120

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	30	60	240
P	43 120	7 15	1 6	1 120

Eξ=0×

43

120

+30×

7

15

+60×

1

6

+240×

1

120

=26．
（2）顧客乙一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p=1-

43

120

=

77

120

，
四次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，
∴得獎(jiǎng)次數(shù)η～B（4，

77

120

），
∴Dη=4×

77

120

×

43

120

=

3311

3600

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．