【題目】已知數(shù)列,若對(duì)任意的,,,存在正數(shù)使得,則稱(chēng)數(shù)列具有守恒性質(zhì),其中最小的稱(chēng)為數(shù)列的守恒數(shù),記為.
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列且公差為,前項(xiàng)和記為.
①證明:數(shù)列具有守恒性質(zhì),并求出其守恒數(shù).
②數(shù)列是否具有守恒性質(zhì)?并說(shuō)明理由.
(2)若首項(xiàng)為1且公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列具有守恒性質(zhì),且,求公比值的集合.
【答案】(1)①見(jiàn)解析,.②數(shù)列不具有守恒性質(zhì).見(jiàn)解析(2)
【解析】
(1)①運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列具有守恒性質(zhì)可得結(jié)論;
②數(shù)列不具有守恒性質(zhì),運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)可得結(jié)論;
(2)討論,,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和不等式的性質(zhì),構(gòu)造數(shù)列,運(yùn)用單調(diào)性,即可得到所求范圍.
解:(1)①因?yàn)?/span>是等差數(shù)列且公差為,所以,
所以對(duì)任意,,
恒成立,
所以數(shù)列具有守恒性質(zhì),且守恒數(shù).
②假設(shè)數(shù)列具有守恒性質(zhì),因?yàn)?/span>,所以存在實(shí)數(shù),
.
若,則當(dāng)時(shí),,矛盾;
若,則當(dāng)時(shí),,矛盾.
所以數(shù)列不具有守恒性質(zhì).
(2)顯然且,因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)閿?shù)列具有守恒性質(zhì),
所以對(duì)任意,,存在正數(shù)使得,
即存在正數(shù),對(duì)任,都成立.
(i)若,等比數(shù)列遞增,不妨設(shè),則,
即,
設(shè),由式中的,任意性可知,數(shù)列不遞增,
所以對(duì)任意恒成立.
而當(dāng),,
所以不符題意.
(ii)若,則數(shù)列單調(diào)遞減,不妨設(shè),則,
即,
設(shè),由式中的,任意性可知,數(shù)列不遞減,
所以對(duì)任意恒成立,
所以對(duì)任意恒成立,
顯然,當(dāng),時(shí),單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí),取得最大值,
所以.
又,故,即.
綜上所述,公比的取值集合為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:經(jīng)過(guò)點(diǎn),右焦點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)定義為,兩點(diǎn)所在直線的斜率,若四邊形為橢圓的內(nèi)接四邊形,且,相交于原點(diǎn),且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:給定整數(shù)i,如果非空集合滿(mǎn)足如下3個(gè)條件:
①;②;③,若,則.
則稱(chēng)集合A為“減i集”
(1)是否為“減0集”?是否為“減1集”?
(2)證明:不存在“減2集”;
(3)是否存在“減1集”?如果存在,求出所有“減1集”;如果不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,且橢圓上存在一點(diǎn),滿(mǎn)足.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),求的內(nèi)切圓的半徑的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)與函數(shù)在處有相同的切線,求實(shí)數(shù)的值;
(2)當(dāng)時(shí), ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有高一學(xué)生兩人,高二學(xué)生兩人,高三學(xué)生一人,將這五人排成一行,要求同一年級(jí)的學(xué)生不能相鄰,則不同的排法總數(shù)為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓()的離心率是,點(diǎn)在短軸上,且。
(1)球橢圓的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)。是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn)(其中a,b是實(shí)數(shù)),且△AOB是直角三角形(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)(0,1)之間距離的最小值為( ).
A.0B.C.-1D.+1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)根據(jù)學(xué)生的興趣愛(ài)好,分別創(chuàng)建了“書(shū)法”、“詩(shī)詞”、“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán),據(jù)資料統(tǒng)計(jì)新生通過(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立.2015年某新生入學(xué),假設(shè)他通過(guò)考核選拔進(jìn)入該校的“書(shū)法”、“詩(shī)詞”、“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為、、,己知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為,至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為,且.
(1)求與的值;
(2)該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)安排情況,對(duì)進(jìn)入“書(shū)法”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分,對(duì)進(jìn)入“詩(shī)詞”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分,對(duì)進(jìn)入“理學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分.求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率.
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