Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，側面底面，，，為的中點，點在側棱上.

（1）求證：；.

（2）若是的中點，求二面角的余弦值；

（3）若，當平面時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）先利用等腰三角形的“三線合一”和面面垂直的性質得到線面垂直，再利用菱形的對角線垂直得到線線垂直，進而建立空間直角坐標系，利用兩直線的方向向量數量積為0進行求解；（2）先求出兩平面的法向量，再利用法向量的夾角公式進行證明；（3）利用三點共線設出的坐標，分別求出平面的法向量和直線的方向向量，利用兩向量數量積為0進行求解.

詳解：（1）取的中點，連結，，，

∵ ， ∴ ，

∵ 側面底面， 平面平面 ，

∴ 底面，

∵ 底面是菱形，，

∴ ，，

以為原點，分別以，，方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，

由題意可得，，，，，，，，，

∵ ，∴ .

（2）由題意，，

設平面的一個法向量，，，

由，即，

令，，，所以，

又平面的一個法向量，

由，

右圖可知，二面角為銳角，所以余弦值為.

（3）∵ ，，

易得，

設平面的一個法向量，

，，

由，即，

取，得，

又，

∵ 平面，∴ ，

即，得，

所以當時，平面.