Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，求f（x）的單調(diào)性；
（2）若h（x）=（x2﹣x）f（x），且方程h（x）=m有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1 ， x2 ． 求證：x1+x2＞1．

Answer 1

【答案】
（1）

解： ，

設(shè)g（x）=x﹣1﹣lnx，

則 ，

∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，

∴g（x）＞g（1）=0，

∴f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．

（2）

解：h（x）=x2lnx﹣ax2+ax（a＜0），

∴h'（x）=2xlnx+x﹣2ax+a，

∴h'（x）=2lnx﹣2a+3，

∴h'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)x→0時(shí)，h'（x）＜0，h'（1）=3﹣2a＞0，

∴必存在α∈（0，1），使得h'（x）=0，即2lnα﹣2a+3=0，

∴h'（x）在（0，α）上單調(diào)遞減，在（α，+∞）上單調(diào)遞增，

又h'（α）=a﹣2α＜0，h'（1）=1﹣a＞0，

設(shè)h'（x0）=0，則x0∈（0，1），

∴h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，

又h（1）=0，不妨設(shè)x1＜x2，則0＜x1＜x0，x0＜x2＜1，

由（1）知 ，

∴ ，

∴ ，

∴x1+x2＞1．

【解析】（1）先求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，（2）先求導(dǎo)，設(shè)h'（x0）=0，則x0∈（0，1），則h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0 ， +∞）上單調(diào)遞增，由（1）知 ，即可證明x1+x2＞1
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)．