Question

（Ⅰ） 若α，β∈[0，2π]，用向量法證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（Ⅱ） 若向量

a

=（sinθ，-2）與

b

=（1，cosθ）互相垂直，且sin（θ-φ）=

10

10

其中θ∈（0，

π

2

），φ∈（0，

π

2

）求cosφ．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,平面向量的坐標(biāo)運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)的頂點在原點，始邊在x軸非負半軸，角α、β的終邊分別與單位圓交于M（cosα，sinα）、N（cosβ，sinβ），則由兩個向量的數(shù)量積的定義可得

OM

•

ON

=cos(α-β)，再利用兩個向量的數(shù)量積公式可得

OM

•

ON

=cosαcosβ+sinαsinβ，從而證得公式成立；
（Ⅱ）根據(jù)向量

a

=（sinθ，-2）與

b

=（1，cosθ）互相垂直，得到sinθ=2cosθ，然后，求解即可．

解答： （Ⅰ）證明：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)的頂點在原點，始邊在x軸非負半軸，
角α、β的終邊分別與單位圓交于M（cosα，sinα）、N（cosβ，sinβ），
則由兩個向量的數(shù)量積的定義可得

OM

•

ON

=cos(α-β)，
再利用兩個向量的數(shù)量積公式可得

OM

•

ON

=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（Ⅱ）∵向量

a

=（sinθ，-2）與

b

=（1，cosθ）互相垂直，
∴

a

•

b

=sinθ-2cosθ=0，
∴sinθ=2cosθ，
∵sin²θ+cos²θ=1，θ∈（0，

π

2

），
∴sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

，
∵sin（θ-φ）=

10

10

，
cosφ=cos[θ-（θ-φ）]=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）
=

5

5

×

3 10

10

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

．
∴cosφ=

2

2

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義、兩個向量的數(shù)量積公式、兩角差的三角公式等知識，屬于中檔題．