Question

19．C₁的參數(shù)方程式$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，A（ρ₁，θ₀）和（ρ₂，θ₀+$\frac{π}{2}$）都在曲線C₁上，$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 C₁的參數(shù)方程式$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1化為直角坐標(biāo)方程．A（ρ₁，θ₀）和（ρ₂，θ₀+$\frac{π}{2}$）化為直角坐標(biāo)，代入曲線C₁的直角坐標(biāo)方程即可得出，

解答 解：C₁的參數(shù)方程式$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
A（ρ₁，θ₀）和（ρ₂，θ₀+$\frac{π}{2}$）化為直角坐標(biāo)：A（ρ₁cosθ₀，ρ₁sinθ₀），B（-ρ₂sinθ₀，ρ₂cosθ₀）．
由于都在曲線C₁上，
∴$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}{θ}_{0}}{4}$+sin²θ₀，$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}{θ}_{0}}{4}$+cos²θ₀，
∴$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、橢圓的參數(shù)方程、橢圓的直角坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．