Question

某中學(xué)為豐富教工生活，國(guó)慶節(jié)舉辦教工趣味投籃比賽，有A、B兩個(gè)定點(diǎn)投籃位置，在A點(diǎn)投中一球得2分，在B點(diǎn)投中一球得3分．其規(guī)則是：按先A后B再A的順序投籃．教師甲在A和B點(diǎn)投中的概率分別是

1

2

和

1

3

，且在A、B兩點(diǎn)投中與否相互獨(dú)立．
（Ⅰ）若教師甲投籃三次，試求他投籃得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）若教師乙與甲在A、B點(diǎn)投中的概率相同，兩人按規(guī)則各投三次，求甲勝乙的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,互斥事件的概率加法公式,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意可知隨機(jī)變量X表示他投籃所得積分，由題意可得X的所有可能值為：0，2，3，4，5，7，利用隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立事件的概率公式即可求得其分布列及期望；
（Ⅱ）教師甲在一場(chǎng)比賽中獲勝：分為五種情況，故所求的概率為P=

1

3

×

1

6

+

1

12

×(

1

6

+

1

3

)+

1

6

×(

1

6

+

1

3

+

1

12

)+

1

6

×（

1

6

+

1

3

+

1

12

+

1

6

）+

1

12

×(1-

1

12

)．

解答： 解：設(shè)“教師甲在A點(diǎn)投中”的事件為A，“教師甲在B點(diǎn)投中”的事件為B．
（Ⅰ）根據(jù)題意知X的可能取值為0，2，3，4，5，7
P（X=0）=P（

.

A

•

.

B

•

.

A

）=(1-

1

2

)2×（1-

1

3

）=

1

6

，
P（X=2）=P（A•

.

B

•

.

A

+

.

A

•

.

B

•A）=

C

1 2

×

1

2

×（1-

1

3

）×（1-

1

2

）=

1

3

，
P（X=3）=P（

.

A

•B•

.

A

）=（1-

1

2

）×

1

3

×（1-

1

2

）=

1

12

，
P（X=4）=P（A•

.

B

•A）=

1

2

×（1-

1

3

）×

1

2

=

1

6

，
P（X=5）=P（A•B•

.

A

+

.

A

•B•A）=

C

1 2

×

1

2

×

1

3

×（1-

1

2

）=

1

6

，
P（X=7）=P（A•B•A）=

1

2

×

1

3

×

1

2

=

1

12

，
所以X的分布列是：

X	0	2	3	4	5	7
P	1 6	1 3	1 12	1 6	1 6	1 12

則X的數(shù)學(xué)期望是EX=0×

1

6

+2×

1

3

+3×

1

12

+4×

1

6

+5×

1

6

+7×

1

12

=3；    
（Ⅱ）教師甲勝乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五種情形．
這五種情形之間彼此互斥，因此，所求事件的概率P為：
P=

1

3

×

1

6

+

1

12

×(

1

6

+

1

3

)+

1

6

×(

1

6

+

1

3

+

1

12

)+

1

6

×（

1

6

+

1

3

+

1

12

+

1

6

）+

1

12

×(1-

1

12

)=

57

144

=

19

48

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了離散型隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立事件的概率公式，還考查了隨機(jī)變量的分布列及期望，另外還考查了互斥事件的概率公式及學(xué)生的計(jì)算能力．