Question

如圖，平面ABB₁A₁為圓柱OO₁的軸截面，點C為

AB

上的點，點M為BC中點．
（Ⅰ）求證：B₁M∥平面O₁AC；
（Ⅱ）若AB=AA₁，∠CAB=30°，求二面角C-AO₁-B的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）連結OB₁，OM，由已知條件推導出四邊形AOB₁O₁為平行四邊形，從而得到平面OMB₁∥平面O₁AC，由此能夠證明B₁M∥平面O₁AC．
（Ⅱ）過點C作CD⊥AB，垂足為D，過點D作DE⊥O₁A，垂足為E，連結CE，由已知條件推導出∠CED為二面角C-AO₁-B的平面角，由此能夠求出二面角C-AO₁-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結OB₁，OM，∵O₁B₁∥AB，且O₁B₁=

1

2

AB=OA，
∴四邊形AOB₁O₁為平行四邊形，∴OB₁∥AO₁，
由

OB1∥AO1 OM∥AC AO1∩AC=A

⇒平面OMB₁∥平面O₁AC，
又∵B₁A?平面OMB₁，
∴B₁M∥平面O₁AC．
（Ⅱ）過點C作CD⊥AB，垂足為D，過點D作DE⊥O₁A，
垂足為E，連結CE，
∵BB₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴BB₁⊥CD，∵AB∩BB₁=B，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥AO₁，
∴CE⊥AO₁，∴∠CED為二面角C-AO₁-B的平面角，
令AB=2a，在Rt△CDE中，CD=

3

2

a，DE=

3 5

5

a，
∴cos∠CED=

2 51

17

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．