Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足

x≥1 x-3y+4≤0 3x+5y≤30

．
（1）求目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值和最小值；
（2）求z=

y+5

x+5

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，即可得到結(jié)論．

解答： 解：出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
（1）由z=2x-y得y=2x-z，
平移直線y=2x-z，
由圖象可知當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=2x-z的截距最小，
此時(shí)z最大．
由

x-3y+4=0 3x+5y=30

，解得

x=5 y=3

，即B（5，3）
將B（5，3）的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z=2x-y，
得z=10-3=7．即z=2x-y的最大值為7．
當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)a時(shí)，直線y=2x-z的截距最大，
此時(shí)z最小．
由

x=1 3x+5y=30

，解得

x=1 y= 27 5

，即A（1，

27

5

），此時(shí)z=2x-y=2-

27

5

=-

17

5

，
即-

17

5

≤z≤7．
（2）求z=

y+5

x+5

的幾何意義是到點(diǎn)C（-5，-5）的斜率，
由圖象可知AC的斜率最大為

27 5 +5

1+5

=

26

15

，BC的斜率最小為

3+5

5+5

=

4

5

，
即

4

5

≤z≤

26

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，注意使用數(shù)形結(jié)合．