Question

某社區(qū)舉辦防控甲型H7N9流感知識(shí)有獎(jiǎng)問答比賽，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道衛(wèi)生知識(shí)題，三人回答正確與錯(cuò)誤互不影響．已知甲回答這題正確的概率是

3

4

，甲、丙兩人都回答錯(cuò)誤的概率是

1

12

，乙、丙兩人都回答正確的概率是

1

4

．
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答這道題正確的概率；
（Ⅱ）用ξ表示回答該題正確的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（ I）記“甲、乙、丙回答正確這道題”分別為事件A、B、C，由題設(shè)分別求出P（A），P（

.

A

）P（

.

C

），P（B）P（C），由此能求出乙、丙兩人各自回答這道題正確的概率．
（ II）由題設(shè)知ξ的可能取值為0、1、2、3，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（ I）記“甲、乙、丙回答正確這道題”分別為事件A、B、C，
則P（A）=

3

4

，且P（

.

A

）P（

.

C

）=

1

12

，（1分）
P（B）P（C）=

1

4

，（2分）
即[1-P（A）]•[1-P（C）]=

1

12

，（3分）
P（B）P（C）=

1

4

，（4分）
∴P（B）=

3

8

，（5分）
P（C）=

2

3

．（6分）
（ II） ξ的可能取值為0、1、2、3．
則P（ξ=0）=P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=

1

4

×

1

3

×

5

8

=

5

96

，（7分）
P（ξ=1）=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）=

7

24

，（8分）
P（ξ=2）=P(A•B•

.

C

)+P(A•

.

B

•C)+P(

.

A

•B•C)=

15

32

，（9分）
P（ξ=3）=P（A•B•C）=

3

16

，（10分）
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	5 96	7 24	15 32	3 16

（11分）
∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

5

96

+1×

7

34

+2×

15

32

+3×

3

16

=

43

24

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型之一，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用，是中檔題．