Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的序號(hào)）．
①若ab＞c²，則C＜

π

3

；
②若a+b＞2c，則C＜

π

3

；
③若a⁴+b⁴=c⁴，則C＜

π

2

；
④若（a+b）c＜2ab，則C＞

π

2

；
⑤若（a²+b²）c²＜2a²b²，則C＞

π

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：利用余弦定理結(jié)合基本不等式加以證明，可得①②③的結(jié)論都成立，從而得到它們正確的；對于④⑤，取特殊的a、b、c值，可知結(jié)論不一定成立，由此即可得到本題的答案．

解答： 解：對于①，若ab＞c²，
根據(jù)余弦定理，可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

a2+b2-ab

2ab

≥

1

2

，
結(jié)合C為三角形的內(nèi)角，可得C＜

π

3

，故正確；
對于②，若a+b＞2c，
根據(jù)余弦定理，可得c²=a²+b²-2abcosC，
∴4c²=4（a+b）²-8ab（1+cosC）＜（a+b）²，
可得3（a+b）²＜8ab（1+cosC），
結(jié)合2

ab

≤a+b，得到12ab≤3（a+b）²，
∴12ab＜8ab（1+cosC），解得cosC＞

1

2

，結(jié)合C為三角形的內(nèi)角，可得C＜

π

3

，故正確；
對于③，若a⁴+b⁴=c⁴，則（a²+b²）²=c⁴+2a²+b²＞c⁴，
∴a²+b²＞c²，可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，得C＜

π

2

，故正確；
對于④⑤，取a=b=2，c=1，可得（a+b）c＜2ab、（a²+b²）c²＜2a²b²成立，
但C為最小角，必定是銳角且小于

π

3

，故C＞

π

2

與C＞

π

3

圴不正確，得④⑤都是錯(cuò)誤的．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形邊之間的關(guān)系式，判定角C的大小．著重考查了余弦定理、基本不等式、命題真假的判斷等知識(shí)，屬于中檔題．