Question

20．如圖所示，在Rt△ABC中，已知A（-2，0），直角頂點$B（0，-2\sqrt{2}）$，點C在x軸上．
（1）求Rt△ABC外接圓的方程；
（2）求過點（0，3）且與Rt△ABC外接圓相切的直線的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心為（1，0），半徑為3，即可求Rt△ABC外接圓的方程；
（2）設所求直線方程為y=kx+3，即kx-y+3=0，當圓與直線相切時，有$d=\frac{{|{k+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，即可求過點（0，3）且與Rt△ABC外接圓相切的直線的方程．

解答 解：（1）由題意可知點C在x軸的正半軸上，可設其坐標為（a，0），
又AB⊥BC，則k_AB•k_BC=-1，…（3分）
即$\frac{{-2\sqrt{2}}}{2}•\frac{{2\sqrt{2}}}{a}=-1$，解得a=4．…（6分）
則所求圓的圓心為（1，0），半徑為3，故所求圓的方程為（x-1）²+y²=9．…（9分）
（2）由題意知直線的斜率存在，
故設所求直線方程為y=kx+3，即kx-y+3=0．…（12分）
當圓與直線相切時，有$d=\frac{{|{k+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，解得k=0，或$k=\frac{3}{4}$…（15分）
故所求直線方程為y=3或$y=\frac{3}{4}x+3$，即y-3=0或3x-4y+12=0．…（17分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．