已知f(x)為定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且當x∈(0,1]時,f(x)=
2x
4x+1

(1)試用函數(shù)單調(diào)性定義證明:f(x)在(0,1]上是減函數(shù);
(2)求函數(shù)f(x)在[-1,1]上的解析式;
(3)要使方程f(x)=x+b在區(qū)間[-1,1]上恒有實數(shù)解,求實數(shù)b的取值范圍.
考點:函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的零點
專題:函數(shù)的性質及應用
分析:1)用定義判定f(x)在區(qū)間(0,1]上的單調(diào)性,基本步驟是取值,作差,判符號,下結論;                      
2由f(x)是[-1,1]上的奇函數(shù),得f(0)=0;由x∈(0,1]時f(x)的解析式,求得x∈[-1,0)時f(x)的解析式,即得所求;
(3)把方程f(x)=x+b化為f(x)-x=b,構造函數(shù)g(x)=f(x)-x,求g(x)在[-1,1]上的最值,利用g(x)的圖象與y=b有公共點,求出b的取值范圍.
解答: 解:1對于任意x1,x2∈(0,1],且x1>x2,有
f(x1)-f(x2)=
2x1
4x1+1
-
2x2
4x2+1

=
2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)
(4x1+1)(4x2+1)

=
(2x1+x2-1)(2x2-2x1)
(4x1+1)(4x2+1)
;
∵x1>x2>0,∴x1+x2>0,
2x1+x2>1,4x1+1>0,4x2+1>0;
又函數(shù)y=2x 在R內(nèi)遞增,
2x12x2,
2x2-2x1<0;
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2);
∴f(x)在 (0,1]上是減函數(shù);                      
2由題意f(x)為定義在[-1,1]上的奇函數(shù),
∴f(0)=0;
又x∈(0,1]時,f(x)=
2x
4x+1
,
∴x∈[-1,0)時,-x∈(0,1],
∴f(-x)=
2-x
4-x+1
=
2x
4x+1

∴f(x)=-f(-x)=-
2x
4x+1
;     
綜上,函數(shù)f(x)在[-1,1]上的解析式為
f(x)=
2x
4x+1
,x∈(0,1]
0,       x=0
-
2x
4x+1
,x∈[-1,0)
;                    
3方程f(x)=x+b 可化為f(x)-x=b,
記g(x)=f(x)-x,
由(1)及題設知,g(x)在[-1,1]為奇函數(shù),且在(0,1]上是減函數(shù),
∴當x∈(0,1]時,
gmax(x)=g(0)=
1
2
,
gmin(x)=g(1)=-
3
5

∴g(x)∈[-
3
5
,
1
2
),
由奇函數(shù)的性質,得x∈[-1,0]時,g(x)∈(-
1
2
,
3
5
],
綜上,g(x)值域為[-
3
5
,
3
5
],
∴當y=g(x) 圖象與直線y=b 有公共點時,b的范圍為[-
3
5
,
3
5
],
也即方程f(x)=x+b 在[-1,1]上恒有實數(shù)解時b的取值范圍為[-
3
5
,
3
5
].
點評:本題考查了利用定義判定函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的解析式和判定方程用實數(shù)解的問題,是綜合題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)將圓心角為120°,面積為3π的扇形,作為圓錐的側面,求圓錐的表面積和體積;
(2)在△ABC中,滿足:
AB
AC
,|
AB
|=|
AC
|,求向量
AB
+2
AC
與向量2
AB
+
AC
的夾角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)是定義在區(qū)間[0,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0有
f(a)+f(b)
a+b
>0
恒成立.
(1)判斷f(x)在[-1,1]上是增函數(shù)還是減函數(shù),并證明你的結論;
(2)若f(x)≤m2-2am+1,對所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=ax+
m
ax
-1
(a,m為實常數(shù),a>0).
(1)當m<0,a=2時,用定義證明:y=f(x)在R上是增函數(shù);
(2)設a=2,g(x)=-
m
2x
,F(xiàn)(x)=|f(x)+g(x)|,請你判斷F(x+1)與F(x)的大小關系,并說明理由.
(3)當m=1,且x∈[1,2]時,不等式f(x)≥3恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(-1,1)和B(-2,-2),且圓心在直線l:x+y-1=0上.
(1)求圓心為C的圓的標準方程;
(2)設點P在圓C上,點Q在直線x-y+5=0上,求PQ的最小值;
(3)若直線kx-y+5=0被圓C所截得弦長為8,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
16
-
y2
4
=1的兩焦點為F1、F2
(1)若點M在雙曲線上,且
MF1
MF2
=0,求M點到x軸的距離;
(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同焦點,且過點(3
2
,2),求雙曲線C的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,1],且同時滿足以下三個條件:①f(1)=1;②對任意的x∈[0,1],都有f(x)≥0; ③當x≥0,y≥0,x+y≤1時總有f(x+y)≥f(x)+f(y).
(1)試求f(0)的值;
(2)求f(x)的最大值;
(3)證明:當x∈[
1
4
,1]
時,恒有2x≥f(x).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

?x∈R,不等式4mx2-2mx-1<0恒成立, m的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的漸近線過點P(2,1),則其離心率為
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案