Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，且同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①f（1）=1；②對(duì)任意的x∈[0，1]，都有f（x）≥0； ③當(dāng)x≥0，y≥0，x+y≤1時(shí)總有f（x+y）≥f（x）+f（y）．
（1）試求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）證明：當(dāng)x∈[

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4

，1]時(shí)，恒有2x≥f（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)抽象函數(shù)的定義，利用賦值法即可求f（0）的值；
（2）根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最大值；
（3）根據(jù)不等式恒成立的等價(jià)條件即可證明：當(dāng)x∈[

1

4

，1]時(shí)，恒有2x≥f（x）．

解答： 解：（1）令x∈[0，1]，y=0，則有f（x）=f（x+0）≥f（x）+f（0），
∴有f（0）≤0，
又根據(jù)條件（2）可知f（0）≥0，
故f（0）=0．（也可令x=y=0）．
（2）設(shè)0≤x₁＜x₂≤1，
則有f（ x₂）=f（ x₂-x₁+x₁）≥f（ x₂-x₁）+f（ x₁）≥f（ x₁），
即f（x）為增函數(shù)（嚴(yán)格來講為不減函數(shù)），
∴f（x）≤f（1）=1，
故f（x）_max=1．
（3）當(dāng)x∈[

1

2

，1]，有2x≥1，
又由（2）可知f（x）≤1，
∴有2x≥f（x）對(duì)任意的x∈[

1

2

，1]恒成立．
當(dāng)x∈[

1

4

，

1

2

)，有，又由（2）可知f(x)≤f(

1

2

)=

f( 1 2 )+f( 1 2 )

2

≤

f( 1 2 + 1 2 )

2

=

1

2

，
∴有2x≥f（x）對(duì)任意x∈[

1

4

，

1

2

)，恒成立．
綜上．對(duì)任意x∈[

1

4

，1]，恒有2x≥f（x）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)．