Question

若f（x）=-x²+13在區(qū)間[a，b]上的最小值為4a，最大值為4b，求[a，b]．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：判斷出f（x）=-x²+13，（-∞，0）單調(diào)遞增，（0，+∞）單調(diào)遞減，分類討論①當(dāng)b≤0時(shí)，②當(dāng)a≥0時(shí)，③0∈[a，b]，判斷符合不符合題意即可．

解答： 解：∵f（x）=-x²+13，
∴（-∞，0）單調(diào)遞增，（0，+∞）單調(diào)遞減，
①當(dāng)b≤0時(shí)，4b=f（b）=13-b²，4a=13-a²，a＜b≤0，
∵x²+4x-13=0，x₁，x₂互為異號(hào)，
∴不符合題意．
②當(dāng)a≥0時(shí)，4b=f（a）=13-a²，4a=13-b²解得：a=1，b=3，
∴[a，b]=[1，3]
③∵0∈[a，b]，
∴4b=13，
b=

13

4

，f（

13

4

）=13-（

13

4

）²=

39

16

，
若4a=

39

16

，a=

39

64

，不符合題意，
若4a=13-a²，a≤-

13

4

，a=-2-

17

，符合題意．
∴[a，b]=[-2-

17

，

13

4

]

點(diǎn)評(píng)：考查配方法解決二次函數(shù)問(wèn)題，知道如何討論是求解本題的關(guān)鍵，以及二次函數(shù)的最大值，分段函數(shù)的最大值．