Question

1．某單位用鐵絲制作如圖所示框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x、y（單位：米）的矩形，上部是一個(gè)半圓形，要求框架所圍成的總面積為8m²
（1）將y表示成x的函數(shù)，并求定義域；
（2）問(wèn)x、y分別為多少時(shí)用料最��？（精確到0.001m）．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)xy+$\frac{1}{2}$•π•$（\frac{x}{2}）^{2}$=8變形、計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知框架用料l=（2+$\frac{π}{4}$）x+$\frac{16}{x}$，進(jìn)而利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，xy+$\frac{1}{2}$•π•$（\frac{x}{2}）^{2}$=8，
整理得：y=$\frac{8-\frac{π}{8}•{x}^{2}}{x}$=$\frac{8}{x}$-$\frac{π}{8}$•x，
定義域?yàn)椋?＜x＜$\frac{8\sqrt{π}}{π}$；
（2）由（1）可知框架用料l=2x+2y+$\frac{1}{2}$•2π•$\frac{x}{2}$
=2x+2（$\frac{8}{x}$-$\frac{π}{8}$•x）+$\frac{π}{2}$•x
=（2+$\frac{π}{4}$）x+$\frac{16}{x}$
≥2$\sqrt{（2+\frac{π}{4}）x•\frac{16}{x}}$
=4$\sqrt{8+π}$，
當(dāng)且僅當(dāng)（2+$\frac{π}{4}$）x=$\frac{16}{x}$，即x=$\frac{8}{\sqrt{8+π}}$時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)x≈2.397m，y=$\sqrt{8+π}$-$\frac{π}{\sqrt{8+π}}$=$\frac{8}{\sqrt{8+π}}$≈2.397m，
故當(dāng)x=y≈2.397m時(shí)用料最省．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．