Question

已知等邊三角形的邊長為3，點D，E分別在邊AB，AC上，且滿足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，將△ADE沿DE折疊到△A₁DE的位置，使平面A₁DE⊥平面BCDE，連接A₁B，A₁C．
（1）證明：A₁D⊥平面BCDE；
（2）在線段BD上是否存在點M，使得CM∥平面A₁DE？若存在，求出BM的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的性質(zhì),直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出DE⊥AD，折疊后有DE⊥A₁D，由此能證明A₁D⊥平面BCDE．
（2）過C作BD邊的垂線，垂直即為所求的點M．M為BC邊的中點，BM=

3

2

．

解答： （1）證明：在△ABC中，
∵

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，等邊三角形的邊長為3，
∴AD=CE=1，BD=AE=2，
在△ADE中，∠A=60°，AD=1，AE=2，
由余弦定理，得DE=

3

，
∴AE²=AD²+DE²，
∴△ADE為直角三角形，且DE⊥AD，
折疊后有DE⊥A₁D，
∵平面A₁DE⊥平面BCDE，
平面A₁DE∩平面BCDE=DE，
A₁D?平面A₁DE，∴A₁D⊥平面BCDE．
（2）解：過C作BD邊的垂線，垂足即為所求的點M．
證明：由（1）知DE⊥AB于E，于是DE∥CM，
∵CM不包含于平面A₁DE，DE?平面A₁DE．
∴CM∥平面A₁DE，
∵M為BC邊的中點，∴BM=

3

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查使直線平行于平面的點是否存在的判斷與證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．