Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)圖像上；

(1)證明是等差數(shù)列；

(2)若函數(shù)，數(shù)列滿足，記，求數(shù)列前項(xiàng)和；

(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)， 對(duì)任意恒成立？若存在，求出最大的實(shí)數(shù)，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) ;(3) .

【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)在函數(shù)上可得，利用公式即可得結(jié)果；（2），結(jié)合（1）可得，利用錯(cuò)位相減法可得結(jié)果；（3）對(duì)任意恒成立，

等價(jià)于任意恒成立，求出的最小項(xiàng) ，令,解不等式即可的結(jié)果.

試題解析：（1）由題意， ，當(dāng)時(shí)， ，

時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，也適合上式

數(shù)列的通項(xiàng)公式為， ； 是等差數(shù)列.

（2）函數(shù)，

數(shù)列滿足，

又，

，···①

，···②

①-②得：

，

.

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)， 對(duì)任意恒成立，

即任意恒成立，

， 是遞增數(shù)列，

所以只要，即，解得或.

所以存在最大的實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)， 對(duì)任意恒成立.