【題目】已知函數(shù)f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R). (Ⅰ)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè)g(x)=x2﹣2x,若對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)∵函數(shù) , ∴ (x>0).
∵曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,
∴f'(1)=f'(3),
即 ,
解得 .
(Ⅱ) (x>0).
①當(dāng)a≤0時,x>0,ax﹣1<0,
在區(qū)間(0,2)上,f'(x)>0;
在區(qū)間(2,+∞)上f'(x)<0,
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),
單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+∞).
②當(dāng) 時, ,
在區(qū)間(0,2)和 上,f'(x)>0;
在區(qū)間 上f'(x)<0,
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和 ,單調(diào)遞減區(qū)間是
③當(dāng) 時, ,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).
④當(dāng) 時, ,在區(qū)間 和(2,+∞)上,f'(x)>0;
在區(qū)間 上f'(x)<0,
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是 .
(Ⅲ)由已知,在(0,2]上有f(x)max<g(x)max .
由已知,g(x)max=0,由(Ⅱ)可知,
①當(dāng) 時,f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增,
故f(x)max=f(2)=2a﹣2(2a+1)+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2,
所以,﹣2a﹣2+2ln2<0,解得a>ln2﹣1,
故 .
②當(dāng) 時,f(x)在 上單調(diào)遞增,
在 上單調(diào)遞減,
故 .
由 可知 ,
2lna>﹣2,﹣2lna<2,
所以,﹣2﹣2lna<0,f(x)max<0,
綜上所述,a>ln2﹣1.
【解析】(Ⅰ)由函數(shù) ,知 (x>0).由曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,能求出a的值.(Ⅱ) (x>0).根據(jù)a的取值范圍進行分類討論能求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.(Ⅲ)對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),等價于在(0,2]上有f(x)max<g(x)max . 由此能求出a的取值范圍.
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【題目】如圖所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=CC1 , M、N分別為BB1、A1C1的中點.
(Ⅰ)求證:CB1⊥平面ABC1;
(Ⅱ)求證:MN∥平面ABC1 .
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【題目】設(shè)橢圓 的左、右焦點分別為F1 , F2 , 離心率為e,過F2的直線與橢圓的交于A,B兩點,若△F1AB是以A為頂點的等腰直角三角形,則e2=( )
A.3﹣2
B.5﹣3
C.9﹣6
D.6﹣4
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【題目】設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期2π的偶函數(shù),f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x∈[0,π]時,0<f(x)<1;當(dāng)x∈(0,π),且x≠ 時,(x﹣ )f′(x)>0,則函數(shù)y=f(x)﹣sinx在[﹣2π,2π]上的零點個數(shù)為( )
A.2
B.4
C.5
D.8
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【題目】已知函數(shù)g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a≠0,b<1),在區(qū)間[2,3]上有最大值4,最小值1,設(shè)f(x)= .
(1)求a,b的值;
(2)不等式f(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)方程f(|2x﹣1|)+k( ﹣3)有三個不同的實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m,n,向量 與向量 的夾角記為α,則α 的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2bx+c,且f(1)=f(3)=﹣1.設(shè)a>0,將函數(shù)f(x)的圖象先向右平移a個單位長度,再向下平移a2個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象. (Ⅰ)若函數(shù)g(x)有兩個零點x1 , x2 , 且x1<4<x2 , 求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的值域為[λ,μ],若有 ,則稱該函數(shù)為“陡峭函數(shù)”.若函數(shù)g(x)在區(qū)間[a,2a]上為“陡峭函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知拋物線C:y2=4x,過焦點F作與x軸垂直的直線l1 , C上任意一點P(x0 , y0)(y0≠0)處的切線為l,l與l1交于M,l與準(zhǔn)線交于N,則 = .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1. (Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△ABC的面積S=5 ,b=5,求sinBsinC的值.
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