Question

已知(1+2

3	x

)n的展開式中，某一項(xiàng)的系數(shù)是它前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，而又等于它后一項(xiàng)系數(shù)的

5

6

，
（Ⅰ）求展開后所有項(xiàng)系數(shù)之和及所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；
（Ⅱ）求展開式中的有理項(xiàng)．

Answer 1

（Ⅰ）由題意可得 C_n^r2^r=2 C_n^r-12^r-1，且 C_n^r2^r=

5

6

C

r+1n

2r+1，
解得 n=7，r=4．  故展開后所有項(xiàng)系數(shù)之和為（1+2）⁷=3⁷，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 2ⁿ=2⁷．
（Ⅱ）展開式中的通項(xiàng)  T_k+1=C₇^K•2^K•x

k

3

，k∈z，故當(dāng) k=0，3，6時(shí)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，
故有理項(xiàng)為第一項(xiàng)  T₁=1，第四項(xiàng) T₄=C₇³•8x=280x，第七項(xiàng)  T₇=C₇⁶•2⁶x²=448x²．