Question

10．二項(xiàng)式${（{2\sqrt{x}+\frac{1}{{\root{4}{x}}}}）^n}$（n∈N）的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則此展開式有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是3．

Answer 1

分析 由條件可得 2${C}_{n}^{1}$•2^n-1=${C}_{n}^{0}$•2ⁿ+${C}_{n}^{2}$•2^n-2，求得n的值，在 ${（2\sqrt{x}+\frac{1}{\root{4}{x}}）}^{8}$ 的展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求得r的值，可得此展開式有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．

解答 解：由題意可得${C}_{n}^{0}$•2ⁿ、${C}_{n}^{1}$•2^n-1、${C}_{n}^{2}$•2^n-2 成等差數(shù)列，
即2${C}_{n}^{1}$•2^n-1=${C}_{n}^{0}$•2ⁿ+${C}_{n}^{2}$•2^n-2，化簡可得 n²-9n+8=0，
解得n=8，或n=1（舍去）．
故二項(xiàng)式${（{2\sqrt{x}+\frac{1}{{\root{4}{x}}}}）^n}$=${（2\sqrt{x}+\frac{1}{\root{4}{x}}）}^{8}$ 的展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^8-r•${x}^{\frac{16-3r}{4}}$，
令$\frac{16-3r}{4}$為整數(shù)，可得r=0，4，8，
故此展開式有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是3，
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．