Question

15．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x²+（y-3）²=2，點A是x軸上的一個動點，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點，則線段PQ的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{14}}{3}$，$\sqrt{2}$）
• B． [$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，2$\sqrt{2}$）
• C． [$\frac{\sqrt{14}}{3}$，$\sqrt{2}$]
• D． [$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 考慮特殊位置，即可求出線段PQ的取值范圍．

解答 解：由題意，A在坐標原點時，sin∠POC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∴cos∠POC=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴sin∠POQ=sin2∠POC=2sin∠POCcos∠POC=$\frac{2\sqrt{14}}{9}$，
∴sin∠PCQ=$\frac{2\sqrt{14}}{9}$，
∴cos∠PCQ=-$\frac{5}{9}$，
∴PQ=$\sqrt{{CP}^{2}{+CQ}^{2}-2CP•CQ•cos∠PCQ}$=$\sqrt{2+2-2×2×（-\frac{5}{9}）}$=$\frac{2\sqrt{14}}{3}$．
A在x軸上無限遠時，PQ接近直徑2$\sqrt{2}$，
∴線段PQ的取值范圍是[$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，2$\sqrt{2}$），
故選：B．

點評 本題考查線段PQ的取值范圍，正確利用特殊位置是關(guān)鍵，屬于中檔題．