【題目】已知F1 , F2分別是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 的橢圓C: + =1(a>b>0)的左右焦點(diǎn),A1 , A2是橢圓C的左右頂點(diǎn),P為橢圓上異于A1 , A2的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M為線段PA2的中點(diǎn),且直線PA2與OM的斜率之積恒為﹣ .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)N,點(diǎn)N橫坐標(biāo)的取值范圍是(﹣ ,0),求線段AB長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)由題意可知2a=2 ,則a= ,設(shè)P(x0 , y0),
∵直線PA與OM的斜率之積恒為﹣ ,∴ × =﹣ ,
∴ + =1,
∴b=1,
橢圓C的方程 ;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=k(x+1),A(x1 , y1),B(x2 , y2),
聯(lián)立直線與橢圓方程: ,得:(2k2+1)x2+4k2x+2k2﹣2=0,
則x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
則y1+y2=k(x1+x2+2)= ,
∴AB中點(diǎn)Q(﹣ , ),
QN直線方程為:y﹣ =﹣ (x+ )=﹣ x﹣ ,
∴N(﹣ ,0),由已知得﹣ <﹣ <0,
∴0<2k2<1,
∴|AB|= =
= = (1+ ),
∵ <<12k2+1<1,
∴|AB|∈( ,2 ),
線段AB長(zhǎng)的取值范圍( ,2 )
【解析】(Ⅰ)利用橢圓Q的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 ,求出a= ,設(shè)P(x0 , y0),通過(guò)直線PA與OM的斜率之積恒為,﹣ .化簡(jiǎn)求出b,即可得到橢圓方程;(Ⅱ)將直線方程代入橢圓方程,由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線方程、弦長(zhǎng)公式,能求出線段AB長(zhǎng)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn), 的距離之比等于5.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中的軌跡為,過(guò)點(diǎn)的直線被所截得的線段的長(zhǎng)為8,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P( ,1),Q(cosx,sinx),O為坐標(biāo)原點(diǎn),函數(shù)f(x)= .
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式及f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若A為△ABC的內(nèi)角,f(A)=4,BC=3,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(﹣x)=﹣f(x),f(x﹣2)=f(x+2),且x∈(﹣1,0)時(shí),f(x)=2x+ ,則f(log220)=( )
A.﹣1
B.
C.1
D.﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某手機(jī)廠商推出一款6寸大屏手機(jī),現(xiàn)對(duì)500名該手機(jī)使用者(200名女性,300名男性)進(jìn)行調(diào)查,對(duì)手機(jī)進(jìn)行打分,打分的頻數(shù)分布表如下:
女性用戶 | 分值區(qū)間 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 20 | 40 | 80 | 50 | 10 | |
男性用戶 | 分值區(qū)間 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 45 | 75 | 90 | 60 | 30 |
(Ⅰ)完成下列頻率分布直方圖,并比較女性用戶和男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大。ú挥(jì)算具體值,給出結(jié)論即可);
(Ⅱ)根據(jù)評(píng)分的不同,運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,在這20名用戶中,從評(píng)分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶,求3名用戶中評(píng)分小于90分的人數(shù)的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a2=﹣14,a5=﹣5.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)求{an}前n項(xiàng)和Sn的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法:①殘差可用來(lái)判斷模型擬合的效果;
②設(shè)有一個(gè)回歸方程,變量x增加一個(gè)單位時(shí),y平均增加5個(gè)單位;
③線性回歸方程必過(guò) ;
④在一個(gè)2×2列聯(lián)表中,由計(jì)算得=13.079,則有99%的把握確認(rèn)這兩個(gè)變量間有關(guān)系(其中);
其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從全校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生的試卷中抽取一個(gè)樣本,考察競(jìng)賽的成績(jī)分布情況,將樣本分成5組,繪成頻率分布直方圖,圖中從左到右各小組的小長(zhǎng)方形的高之比為1:3:6:4:2,最右邊一組頻數(shù)是6,請(qǐng)結(jié)合直方圖提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)樣本的容量是多少?
(2)列出頻率分布表;
(3)估計(jì)這次競(jìng)賽中,成績(jī)高于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分比;
(4)成績(jī)落在哪個(gè)范圍內(nèi)的人數(shù)最多?并求出該小組的頻數(shù),頻率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求f(2),f(x);
(2)證明:函數(shù)f(x)在[1,17]上為增函數(shù);
(3)試求函數(shù)f(x)在[1,17]上的最大值和最小值.
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