Question

已知D是面積為1的△ABC的邊AB上任一點(diǎn)，E是邊AC上任一點(diǎn)，連結(jié)DE，F(xiàn)是線段DE上一點(diǎn)，連結(jié)BF，G是BF上一點(diǎn)，設(shè)

AD

=λ1

AB

，

AE

=λ2

AC

，

DF

=λ3

DE

，

BG

=λ4

BF

，且λ1+λ4-λ2-λ3=

2

3

，記△GDF的面積為S=f（λ₁，λ₂，λ₃，λ₄），則S的最大值是（　�。�

• A、

  16

  81

• B、

  1

  64

• C、

  8

  81

• D、

  1

  81

Answer 1

考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，連接AF，BE．由

AD

=λ1

AB

，

AE

=λ2

AC

，

DF

=λ3

DE

，

BG

=λ4

BF

，
利用三角形的面積計(jì)算公式可得

S△GDF

S△BDF

=

BG

BF

=1-λ4，

S△BDF

S△ABF

=

BD

AB

=1-λ1，

S△ABF

S△ABE

=

DF

DE

=λ₃，

S△ABE

S△ABC

=

AE

AC

=λ2，由于S_△ABC=1，λ1+λ4-λ2-λ3=

2

3

，
可得S=S_△GDF=（1-λ₄）（1-λ₁）λ₃λ₂≤(

1-λ4+1-λ1+λ3+λ2

4

)4，即可得出．

解答： 解：如圖所示，
連接AF，BE．
∵

AD

=λ1

AB

，

AE

=λ2

AC

，

DF

=λ3

DE

，

BG

=λ4

BF

，
∴

S△GDF

S△BDF

=

BG

BF

=1-λ4，

S△BDF

S△ABF

=

BD

AB

=1-λ1，

S△ABF

S△ABE

=

DF

DE

=λ₃，

S△ABE

S△ABC

=

AE

AC

=λ2，
又∵S_△ABC=1，λ1+λ4-λ2-λ3=

2

3

，
∴S=S_△GDF=（1-λ₄）（1-λ₁）λ₃λ₂≤(

1-λ4+1-λ1+λ3+λ2

4

)4=

1

81

．當(dāng)且僅當(dāng)1-λ₄=1-λ₁=λ₃=λ₂取等號(hào)．
∴S的最大值為

1

81

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、三角形的面積計(jì)算公式、不等式的性質(zhì)，考查了解決復(fù)雜問題的能力，屬于難題．