已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0),F2(
2
,0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2
的點(diǎn)P的軌跡是曲線E,過(guò)點(diǎn)(0,-1)的直線l與曲線E交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=6
3

(1)求曲線E的方程;
(2)求直線l的方程;
(3)問(wèn):曲線E上是否存在點(diǎn)C,使
OA
+
OB
-m
OC
=
0
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若存在,則求出m的值和△ABC的面積S;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)由雙曲線的定義可知,曲線E是以F1(-
2
,0),F2(
2
,0)
為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,由此能求出曲線E的方程.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),由題意建立方程組
y=kx-1
x2-y2=1
,得(1-k2)x2+2kx-2=0.由直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A,B,得
1-k2≠0
△=(2k)2+8(1-k2)>0
x1+x2=
-2k
1-k2
<0
x1x2=
-2
1-k2
>0
|AB|=
1+k2
•|x1-x2|
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
(
-2k
1-k2
)
2
-4×
-2
1-k2
=2
(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
=6
3
,能求出直線l的方程.
(3)設(shè)C(x,y),由
OA
+
OB
-m
OC
=
0
,得x1+x2=mx,且y1+y2=my.x=
x1+x2
m
,y=
y1+y2
m
,(m≠0).又x1+x2=
2k
k2-1
=-4
5
,y1+y2=k(x1+x2)-2=
2k2
k2-1
-2=
2
k2-1
=8
,所以點(diǎn)C(-
4
5
m
,
8
m
)
.C到AB的距離為
|
5
2
×(-
5
)+2+1|
(
5
2
)
2
+12
=
1
3
,由此能求出△ABC的面積.
解答:解:(1)由雙曲線的定義可知,曲線E是以F1(-
2
,0),F2(
2
,0)
為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,
c=
2
,a=1
,易知b=1,
故曲線E的方程為x2-y2=1(x≤-1)(3分)
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由題意建立方程組
y=kx-1
x2-y2=1
,消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0(4分)
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A,B,有
1-k2≠0
△=(2k)2+8(1-k2)>0
x1+x2=
-2k
1-k2
<0
x1x2=
-2
1-k2
>0
解得-
2
<k<-1
(6分)
又∵|AB|=
1+k2
•|x1-x2|
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
(
-2k
1-k2
)
2
-4×
-2
1-k2
=2
(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
=6
3

整理后得:28k4-55k2+25=0,得k2=
5
7
k2=
5
4

-
2
<k<-1

k=-
5
2
故直線l的方程為
5
2
x+y+1=0
(8分)
(3)設(shè)C(x,y),由已知
OA
+
OB
-m
OC
=
0
,得x1+x2=mx,且y1+y2=my
x=
x1+x2
m
,y=
y1+y2
m
,(m≠0)(9分)
x1+x2=
2k
k2-1
=-4
5
,y1+y2=k(x1+x2)-2=
2k2
k2-1
-2=
2
k2-1
=8

∴點(diǎn)C(-
4
5
m
,
8
m
)
(10分)
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程,得
80
m2
-
64
m2
=1
得m=±4,(11分)
但當(dāng)m=-4時(shí),所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上,不合題意,
∴m=4,C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-
5
,2)

所以C到AB的距離為
|
5
2
×(-
5
)+2+1|
(
5
2
)
2
+12
=
1
3
(12分)
∴△ABC的面積S=
1
2
×6
3
×
1
3
=
3
(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與雙曲線的位置關(guān)系,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0)
,F2(
2
,0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|
=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn).如果
|AB|
=6
3
且曲線E上存在點(diǎn)C,使
OA
+
OB
=m
OC
求m的值和△ABC的面積S.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0)
,F2(
2
,0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2
的點(diǎn)P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)如果|AB|=6
3
且曲線E上存在點(diǎn)C,使
OA
=
OB
=m
OC
求m的值和△ABC的面積S.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0),F2(
2
,0)
,平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡c的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l與c交于A、B兩點(diǎn),且
MA
MB
,當(dāng)
1
3
≤λ≤
1
2
時(shí),求直線l的斜率k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,  0),F2(
2
,  0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
| =2
的點(diǎn)P的軌跡是曲線C,直線y=kx-2與曲線C交于A、B兩點(diǎn),且|AB| =
2
5
3

(1)求曲線C的方程;
(2)求直線AB的方程;
(3)若曲線C上存在一點(diǎn)D,使
OA
+
OB
=m
OD
,求m的值及點(diǎn)D到直線AB的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0)
,F2(
2
,0)
,點(diǎn)P是曲線E上任意一點(diǎn),且滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2

①求曲線E的軌跡方程;
②若直線y=kx-1與曲線E交于不同兩點(diǎn)A,B兩點(diǎn),求k的范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案