Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+a²，若f（x）能表示成一個奇函數(shù)g（x）和一個偶函數(shù)h（x）的和．
（1）求g（x）和h（x）的解析式；
（2）若f（x）和g（x）在區(qū)間（-∞，（a+1）²） 上都是減函數(shù)，求f（1）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=g（x）+h（x），由于g（x）是奇函數(shù)，h（x）是偶函數(shù)．可得f（-x）=-g（x）+h（x），即可得出．
（2）利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性可得a的取值范圍，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出f（1）的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=g（x）+h（x），∵g（x）是奇函數(shù)，h（x）是偶函數(shù)．
∴f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
∴h(x)=

f(x)+f(-x)

2

=x²+a²，
g（x）=

f(x)-f(-x)

2

=（a+1）x．
（2）∵f（x）和g（x）在區(qū)間（-∞，（a+1）²） 上都是減函數(shù)，
∴(a+1)2≤-

a+1

2

，a+1＜0，
解得-

3

2

≤a＜-1．
f（1）=a²+a+2
=(a+

1

2

)2+

7

4

．
∵f（1）在[-

3

2

，-1)上單調(diào)遞減，
∴f(-1)＜f(1)≤f(-

3

2

)，
∴2＜f（1）≤

11

4

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．