Question

如圖，正方體AC₁的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)A作平面A₁BD的垂線，垂足為H．則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是（　�。�

• A、點(diǎn)H是△A₁BD的垂心
• B、AH垂直平面CB₁D₁
• C、直線AH和BB₁所成角為45°
• D、AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C₁

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：首先，判斷三棱錐 A-BA₁D為正三棱錐，然后，得到△BA₁D為正三角形，得到H為A在平面A₁BD內(nèi)的射影，然后，根據(jù)平面A₁BD與平面B₁CD₁平行，得到選項(xiàng)B正確，最后，結(jié)合線面角和對(duì)稱性求解．

解答： 解：∵AB=AA₁=AD，
BA₁=BD=A₁D，
∴三棱錐 A-BA₁D為正三棱錐，
∴點(diǎn)H是△A₁BD的垂心；
故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：
∵平面A₁BD與平面B₁CD₁平行，
∵AH⊥平面A₁BD，
∵平面A₁BD⊥平面BC₁D，
∴AH垂直平面CB₁D₁，
選項(xiàng)B正確；
根據(jù)正方體的對(duì)稱性得到
AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)C₁，
∴選項(xiàng)D正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，
∵AA₁∥BB₁，
∴∠A₁AH就是直線AH和BB₁所成角，
在直角三角形AHA₁中，
∵AA₁=1，A1H=

2

3

×

3

2

×

2

=

6

3

，
∴sin∠A1AH=

6

3

，
所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，屬于中檔題．