Question

已知O是坐標(biāo)原點，點A（-1，1），若點M（x，y）為平面區(qū)域

x+y≥2 x≤1 y≤2

上一個動點．
（1）求

OA

•

OM

的取值范圍；
（2）求目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值；
（3）求目標(biāo)函數(shù)z=

y-1

x+1

的取值范圍；
（4）求目標(biāo)函數(shù)z=

(x+1)2+(y-1)2

的最大值．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃,平面向量數(shù)量積的運算

專題：數(shù)形結(jié)合,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由約束條件作出可行域．
（1）求出數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為線性目標(biāo)函數(shù)，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得答案；
（2）化線性目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得答案；
（3）由目標(biāo)函數(shù)z=

y-1

x+1

的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與定點A（-1，1）連線的斜率的范圍得答案；
（4）由目標(biāo)函數(shù)z=

(x+1)2+(y-1)2

的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點到定點A（-1，1）的距離得答案．

解答： 解：由約束條件

x+y≥2 x≤1 y≤2

作出可行域如圖，

（1）令

OA

•

OM

=-x+y=t，
則y=x+t，
∴當(dāng)直線y=x+t過點B（1，1）時，t有最小值為0，當(dāng)直線y=x+t過點D（0，2）時，t有最大值為2，
∴

OA

•

OM

的取值范圍是[0，2]；
（2）由z=2x+y，得y=-2x+z，當(dāng)直線y=-2x+z過D（0，2）時z有最小值為2×0+2=2；
（3）目標(biāo)函數(shù)z=

y-1

x+1

的幾何意義是可行域內(nèi)的動點與定點A（-1，1）連線的斜率，
∵kAB=0，kAD=

2-1

0-(-1)

=1，
∴目標(biāo)函數(shù)z=

y-1

x+1

的取值范圍是[0，1]；
（4）目標(biāo)函數(shù)z=

(x+1)2+(y-1)2

的幾何意義是可行域內(nèi)的動點到定點A（-1，1）的距離，
由圖可知，目標(biāo)函數(shù)z=

(x+1)2+(y-1)2

的最大值為|AC|=

22+12

=

5

．

點評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．