Question

在直角坐標系xOy中，橢圓C₁：的左、右焦點分別為F₁、F₂，其中右焦點F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF₂|=．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設，是否存在斜率為k （k≠0）的直線l與橢圓C₁交于A、B兩點，且|AE|=|BE|？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)右焦點F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，且|MF₂|=，可求出F₂，根據(jù)拋物線的定義可求得點M的橫坐標，并代入拋物線方程，可求其縱坐標；把點M代入橢圓方程，以及焦點坐標，解方程即可求得橢圓C₁的方程；
（2）設AB中點P（x，y）和直線l的方程為y=kx+m（k≠0），由|AE|=|BE|等價于PE⊥AB，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理和△＞0即可求得k的取值范圍．
解答：解：（1）由已知
得代入y²=4x 得，
即代入橢圓方程
又1=a²-b² 解得a²=4，b²=3，
故橢圓C₁的方程為
（2）設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），
代入得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
．
直線l與橢圓C，有兩個不同公共點的充要條件是△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
即4k²-m²+3＞0（*）
設AB中點P（x，y），則，
|AE|=|BE|等價于PE⊥AB，
即，
（1，k）為的一個方向向量，故，
代入（*）得，∵3+4k²≠0，∴4-（3+4k²）＞0，故，
因此存在合條件的直線l，其斜率k的范圍為．
點評：此題是個難題．考查拋物線的定義和簡單的幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，以及直線和橢圓相交中的有關中點弦的問題，綜合性強，特別是問題（2）的設問形式，增加了題目的難度，注意直線與圓錐曲線相交，△＞0．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法．