Question

14．如圖，設H為銳角△ABC的垂心，過點H作BH的垂線，與AB交于D，過點H作CH的垂線，與AC交于點E，點C作BC的垂線，與直線DE交于點F，證明FH=FC．

Answer 1

分析 延長HE、CF交于G點，連接AH交DE于M點，可證得AB∥EH，AC∥DH，AH∥CF．從而得出△EMH∽△EFG，△EAM∽△ECF，且四邊形ADHE是平行四邊形，故$\frac{MA}{CF}=\frac{EM}{EF}$，$\frac{MH}{FG}=\frac{EM}{EF}$，∴$\frac{MA}{CF}=\frac{MH}{FG}$，∴CF=FG，即FH是Rt△CHG斜邊的中線，得出結論．

解答 證明：分別延長HE、CF交于G點，連接AH交DE于M點
∵H為銳角△ABC的垂心，
∴CH⊥AB，AH⊥BC，BH⊥AC．
∵EH⊥CH，DH⊥BH，FC⊥BC，
∴AB∥EH，AC∥DH，AH∥CF．
∴△EMH∽△EFG，△EAM∽△ECF，
四邊形ADHE是平行四邊形，
∴MA=MH，
$\frac{MA}{CF}=\frac{EM}{EF}$，$\frac{MH}{FG}=\frac{EM}{EF}$，
∴$\frac{MA}{CF}=\frac{MH}{FG}$，
∴CF=FG，即F是CG的中點，
∵GH⊥HC，
∴FH=$\frac{1}{2}$CG=FC．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，根據垂直關系找到平行線并得到相似三角形列出比例線段是解題關鍵．