Question

14．如圖，設H為銳角△ABC的垂心，過點H作BH的垂線，與AB交于D，過點H作CH的垂線，與AC交于點E，點C作BC的垂線，與直線DE交于點F，證明FH=FC．

Answer 1

分析 延長HE、CF交于G點，連接AH交DE于M點，可證得AB∥EH，AC∥DH，AH∥CF．從而得出△EMH∽△EFG，△EAM∽△ECF，且四邊形ADHE是平行四邊形，故$\frac{MA}{CF}=\frac{EM}{EF}$，$\frac{MH}{FG}=\frac{EM}{EF}$，∴$\frac{MA}{CF}=\frac{MH}{FG}$，∴CF=FG，即FH是Rt△CHG斜邊的中線，得出結論．

解答 證明：分別延長HE、CF交于G點，連接AH交DE于M點
∵H為銳角△ABC的垂心，
∴CH⊥AB，AH⊥BC，BH⊥AC．
∵EH⊥CH，DH⊥BH，F(xiàn)C⊥BC，
∴AB∥EH，AC∥DH，AH∥CF．
∴△EMH∽△EFG，△EAM∽△ECF，
四邊形ADHE是平行四邊形，
∴MA=MH，
$\frac{MA}{CF}=\frac{EM}{EF}$，$\frac{MH}{FG}=\frac{EM}{EF}$，
∴$\frac{MA}{CF}=\frac{MH}{FG}$，
∴CF=FG，即F是CG的中點，
∵GH⊥HC，
∴FH=$\frac{1}{2}$CG=FC．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，根據(jù)垂直關系找到平行線并得到相似三角形列出比例線段是解題關鍵．