Question

已知函數(shù)f(x)=,x∈［0，2］.

（1）求f(x)的值域；

（2）設(shè)a≠0,函數(shù)g(x)=ax³-a²x,x∈［0，2］.若對任意x₁∈［0，2］，總存在x₂∈［0，2］，使f(x₁)-g(x₂)=0.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)的值域是（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解析:

  （1）方法一  對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，f′(x)=·.

令f′(x)=0,得x=1或x=-1.

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＞0,f(x)在(0,1）上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)＜0,f(x)在（1，2）上單調(diào)遞減.又f(0)=0,f(1)=,f(2)=,

∴當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，f(x)的值域是.

方法二  當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0;

當(dāng)x∈(0，2］時(shí)，f(x)＞0且

f(x)=·≤·=，

當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=1時(shí)，“=”成立.

∴當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，f(x)的值域是.

(2)設(shè)函數(shù)g(x)在［0，2］上的值域是A.

∵對任意x₁∈［0，2］，總存在x₀∈［0，2］，

使f(x₁)-g(x₀)=0,∴A.

對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，g′(x)=ax²-a².

①當(dāng)x∈(0,2),a＜0時(shí)，g′(x)＜0,

∴函數(shù)g(x)在（0，2）上單調(diào)遞減.

∵g(0)=0,g(2)=a-2a²＜0,

∴當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，不滿足A；

②當(dāng)a＞0時(shí)，g′(x)=a(x-)(x+).

令g′(x)=0，得x=或x=-（舍去）.

（ⅰ)當(dāng)x∈［0，2］，0＜＜2時(shí)，列表：

x	0	（0，）		（，2）	2
		-	0	+
g(x)	0		-

∵g(0)=0,g()＜0,

又∵A，∴g（2）=≥.

解得≤a≤1.

(ⅱ)當(dāng)x∈(0,2),≥2時(shí)，g′(x)＜0,

∴函數(shù)在（0，2）上單調(diào)遞減，

∵g（0）=0，g（2）=＜0,

∴當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，不滿足A.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.