Question

14．函數(shù)f（x）=log_a（1+x）（a＞0且a≠1），x∈（-1，0）時(shí)有f（x）＞0，
證明：對(duì)任意x₁＞1，x₂＞1有$\frac{f（{x}_{1}-1）+f（{x}_{2}-1）}{2}$≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{2}$）．

Answer 1

分析 由已知分析出函數(shù)f（x）=log_a（x-1）在（1，+∞）上為凹函數(shù)，可得結(jié)論．

解答 證明：∵函數(shù)f（x）=log_a（1+x）（a＞0且a≠1），x∈（-1，0）時(shí)有f（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）=log_ax，x∈（0，1）時(shí)有f（x）＞0，
∴a∈（0，1）
∴函數(shù)f（x）=log_ax在（0，+∞）上為凹函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）=log_a（x-1）在（1，+∞）上為凹函數(shù)；
∴對(duì)任意x₁＞1，x₂＞1有$\frac{f（{x}_{1}-1）+f（{x}_{2}-1）}{2}$≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的凸凹性，正確理解函數(shù)的凸凹性是解答的關(guān)鍵．