Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，若△OAB是等邊三角形，則△OAB的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$或$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow$=（x，y），根據(jù)題意和數(shù)量積公式得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AB}$，得到關(guān)于x，y的方程組，求出x，y的值，再求出三角形的邊長，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow$=（x，y），$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），△OAB是等邊三角形，
∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow$=2（x，y），
∵△OAB是等邊三角形，
∴cosO=cosA=cosB，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{AB}$|
∴$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{AB}|}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}$-x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-y），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}$+x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$+y），
∴1-x²-y²=x+2x²-$\sqrt{3}$y+2y²=-x+2x²+$\sqrt{3}$y+2y²，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OA}$=（-1，0）或$\overrightarrow{OA}$=（0，$\sqrt{3}$），
∴|$\overrightarrow{OA}$|=1，或|$\overrightarrow{OA}$|=3，
∴S_△0AB=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|sin60=$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
S_△0AB=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|sin60=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{4}$或$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式、向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和模的公式和三角形的面積求法等知識(shí)，屬于中檔題．