Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，點P在邊AB上，設(shè)

AP

=λ

PB

（λ＞0），過點P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE將△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC；沿PE將△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求證：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正實數(shù)λ，使得二面角C-A′B′-P的大小為90°？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A'PE的一個法向量

CE

=(0，

a

λ+1

，0)，證明

CB′

•

CE

=0，可得B'C∥平面A'PE；
（2）求出平面CA'B'、平面PA'B'的一個法向量，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答： （1）證明：以C為原點，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則C（0，0，0），A（0，a，0），B（a，0，0）設(shè)P（x，y，0），
由

AP

=λ

PB

⇒（x，y-a，0）=λ（a-x，-y，0）⇒x=

λa

λ+1

，y=

a

λ+1

，
∴P(

λa

λ+1

，

a

λ+1

，0)，
從而E(0，

a

λ+1

，0)，F(

λa

λ+1

，0，0)，
于是A′(0，

a

λ+1

，

λa

λ+1

)，B′(

λa

λ+1

，0，

a

λ+1

)，
平面A'PE的一個法向量為

CE

=(0，

a

λ+1

，0)，
又

CB′

=(

λa

λ+1

，0，

a

λ+1

)，

CB′

•

CE

=0，從而B'C∥平面A'PE．
（2）解：由（1）知有：

CA′

=(0，

a

λ+1

，

λa

λ+1

)，

A′B′

=(

λa

λ+1

，-

a

λ+1

，

(1-λ)a

λ+1

)，

B′P

=(0，

a

λ+1

，-

a

λ+1

)．
設(shè)平面CA'B'的一個法向量為

m

=（x，y，-1），則

ay λ+1 - λa λ+1 =0 λax λ+1 - ay λ+1 - (1-λ)a λ+1 =0

，
∴可得平面CA'B'的一個法向量

m

=(

1

λ

，λ，-1)，
同理可得平面PA'B'的一個法向量

n

=(1，1，1)，
由

m

•

n

=0，即

1

λ

+λ-1=0，
又λ＞0，λ²-λ+1=0，由于△=-3＜0，
∴不存在正實數(shù)λ，使得二面角 C-A'B'-P的大小為90°．

點評：本題通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角，證明線面平行是解題的關(guān)鍵．