Question

【題目】如圖，四邊形為菱形， ， 與相交于點， 平面， 平面， ， 為中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）當(dāng)直線與平面所成角為時，求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）先證明四邊形為菱形，再根據(jù)三角形中位線定理可得，進而可得結(jié)論；（Ⅱ）以， ， 為， ， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量及平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果；（Ⅲ）根據(jù)為與平面所成角為可得 的值，進而利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）證明：因為面， 面，所以.

因為四邊形為菱形，所以為中點，又為中點，

所以， 面， 面，故平面.

（Ⅱ）分別以， ， 為， ， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，

， ， ，

， ，

設(shè)平面的法向量，則

得，令， ，所以

設(shè)平面的法向量，則

得，令， ，所以

于是，

所以.

所以，二面角的正弦值為.

（Ⅲ）設(shè)， ，

因為與平面所成角為，所以

解得或（舍）.

于是， .

因此，異面直線與所成角的余弦值.